Quizéo

Opérations sur les variables aléatoires

Variables aléatoires indépendantes

Définition

Soit 

n

 un entier naturel et

X_1

,

X_2

, ..., 

X_n

des variables aléatoires réelles définies sur un même univers fini 

\Omega

.
On dit que les variables aléatoires 

X_1

,

X_2

, ..., 

X_n

 sont(mutuellement) indépendantes si, pour tous réels 

x_1

,

x_2

, ...,

x_n

, on a 

P(X_1=x_1\cap X_2=x_2 \cap \dots \cap X_n=x_n)=P(X_1=x_1) \times P(X_2=x_2) \times \dots \times P(X_n=x_n)

Exemple

On lance trois fois de suite un dé équilibré à six faces, numérotées de 1 à 6.
On appelle 

X

 le numéro obtenu au premier lancer, 

Y

 le numéro obtenu au deuxième lancer et 

Z

 le numéro obtenu au troisième lancer.Alors, les variables aléatoires 

X

,

Y

, et 

Z

 sont indépendantes.

Remarque

Plus généralement, si l'on considère une succession d'épreuves aléatoires indépendantes, chacune étant reliée à une variable aléatoire réelle, alors ces variables aléatoires sont indépendantes.

Produit d'une variable aléatoire par un réel, somme d'une variable aléatoire et d'un réel

Définition

Soit 

X

 une variable aléatoire réelle, définie sur un univers `\Omega`, et 

a

 un réel non nul.
La variable aléatoire 

aX

 est définie par : pour tout 

\omega \in \Omega

,

(aX)(\omega)=a\times X(\omega)

.
Ainsi, pour tout réel 

k

, on a 

P(aX=k)=P(X=\frac{k}{a})

.

Exemple

On considère la variable aléatoire 

X

 dont la loi est résumée dans le tableau ci-dessous.

\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline k & 1 & 2 & 5\\\hline P(X=k) & \dfrac{1}{2} & \dfrac{1}{3} & \dfrac{1}{6} \\ \hline\end{array}

On note 

Y

 la variable aléatoire définie par 

Y=3X

.
L'ensemble des valeurs prises par la variable aléatoire 

Y

 est donc l'ensemble des triples des valeurs prises par la variable aléatoire 

X

, c'est-à-dire 

\{3 ; 6 ; 15\}

.
On a alors par exemple

P(Y=15)=P(3X=15)=P(X=5)=\dfrac{1}{6}

.
La loi de 

Y

 peut être résumée dans le tableau ci-dessous.

\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline k & 3 & 6 & 15\\\hline P(X=k) & \dfrac{1}{2} & \dfrac{1}{3} & \dfrac{1}{6} \\ \hline\end{array}

 Définition 

Soit 

X

 une variable aléatoire réelle, définie sur un univers 

\Omega

, et 

b

 un réel.
La variable aléatoire 

X+b

 est définie par : pour tout 

\omega \in \Omega

,

(X+b)(\omega)=X(\omega)+b

.
Ainsi, pour tout réel 

k

, on a

P(X+b=k)=P(X=k-b)

.

Exemple

On considère la variable aléatoire 

X

 dont la loi est résumée dans le tableau ci-dessous.

\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline k & 1 & 2 & 5\\\hline P(X=k) & \dfrac{1}{2} & \dfrac{1}{3} & \dfrac{1}{6} \\ \hline\end{array}

On note 

Y

 la variable aléatoire définie par 

Y=X+2

.
L'ensemble des valeurs prises par la variable aléatoire 

Y

 est donc l'ensemble des valeurs prises par la variable aléatoire 

X

 auxquelles on ajoute 2. Il s'agit donc de l'ensemble 

\{3;4;7\}

.
On a alors par exemple

P(Y=3)=P(X+2=3)=P(X=1)=\dfrac{1}{2}

.
La loi de 

Y

 peut être résumée dans le tableau ci-dessous.

\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline k & 3 & 4 & 7\\\hline P(X=k) & \dfrac{1}{2} & \dfrac{1}{3} & \dfrac{1}{6} \\ \hline\end{array}

Exemple

Au casino, une roulette classique comporte 18 cases rouges, 18 cases noires et 1 case verte. Les joueurs peuvent miser sur la couleur rouge ou la couleur noire. Si la bille de la roulette s'arrête sur la case verte, tous les joueurs perdent automatiquement.

Hélène joue à la roulette et mise à chaque fois 2 euros sur la couleur rouge. À chaque partie, sa probabilité de gagner est de 

18/37

. Si elle gagne, elle récupère sa mise et empoche 2 euros supplémentaires.
Hélène joue 5 parties. On appelle 

X

 le nombre de parties gagnées et 

Y

 le gain algébrique d'Hélène après ces 5 parties.Ainsi, 

X

 suit une loi binomiale de paramètres 

5

et

18/37

.
Par ailleurs,au bout des 5 parties, Hélène aura quoi qu'il arrive payé 10 euros. Son gain seraalorsde 4 euros multiplié par le nombre de parties gagnées, quiest donné par

X

. On peut ainsi établir que 

Y=4X-10

.
Connaissant la loi de 

X

, il est alors possible de déterminer facilement la loi de 

Y

.

Somme de variables aléatoires

Définition

Soit 

X

et

Y

 deux variables aléatoires définies sur un même univers 

\Omega

.
La variable aléatoire 

X+Y

 est définiepar : pour tout 

\omega \in \Omega

,

(X+Y)(\omega)=X(\omega)+Y(\omega)

.

Exemple

Un supporter de football a étudié le nombre de buts marqués par son équipe au cours d'une saison. On considère un match au hasard de cette équipeet on appelle 

X

 le nombre de buts marqué par cette équipe en première mi-tempsde ce match et 

Y

 le nombre de buts marqués en seconde mi-tempsde ce match.Ainsi, 

X+Y

 représente le nombre de buts marqués parcette équipe au cours du match.
D'aprèsl'étude de ce supporter, on peut construire l'arbre de probabilités suivant.

La variable aléatoire 

X+Y

 prend les valeurs 0, 1, 2, 3 et 4.
Il est alors possible d'établir la loi de 

X+Y

 en s'appuyant sur cet arbre de probabilités.
Par exemple, on a 

P(X+Y=1)=P(X=0 \cap Y=1)+P(X=1 \cap Y=0)=0,55 \times 0,6 + 0,4 \times 0,35 =0,47

La loi de 

X+Y

 peut alors résumée dans le tableau suivant.

\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}\hline k & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\\hline P(X+Y=k) & 0,165 & 0,47 & 0,27 & 0,085 & 0,01 \\ \hline\end{array}

Espérance, variance et opérations sur les variables aléatoires

Linéarité de l'espérance

Propriété

Soit 

X

et

Y

 deux variables aléatoires réelles définies sur un même univers 

\Omega

. 
Soit 

a

et

b

 deux réels.

On a alors les propriétés suivantes.

E(aX+b)=a\times E(x)+b

E(X+Y)=E(X)+E(Y)

Exemple 1

On considère le jeu suivant : on lance un dé équilibré à 6 faces, numérotées de 1 à 6, et on remporte deux fois la somme inscrite sur le dé.
La participation à ce jeu est fixée à 8 euros.
On considère la variable aléatoire 

X

qui donne le résultat du lancer et 

Y

le gain du joueur à l'issue de ce jeu, ce gain pouvant être positif ou négatif.
On a alors 

Y=2X-8

.
Par ailleurs, 

E(X)=\dfrac{1}{6}\times(1+2+3+4+5+6)=\dfrac{21}{6}=\dfrac{7}{2}

.
Ainsi, 

E(Y)=2\times E(X)-8=2 \times \dfrac{7}{2}-8=-1

.
En moyenne, on perd 1 euro en jouant à ce jeu.

Exemple 2

On lance deux fois de suite un dé à six faces numérotées de 1 à 6.
On note 

X

 le résultat du premier lancer et 

Y

 le résultat du second lancer.
On a alors 

E(X+Y)=E(X)+E(Y)=\dfrac{7}{2}+\dfrac{7}{2}=7

.

Variance et opérations sur les variables aléatoires

Propriété

Soit 

X

 une variable aléatoire réelle, 

a

 un réel non nul et 

b

 un réel.
Alors on a 

V(aX+b)=a^2V(X)

.

Démonstration

Soit \(X\) une variable aléatoire réelle, 

a

 un réel non nul et 

b

 un réel.
On rappelle que 

V(X)=E[(X-E(X))^2]

.
Ainsi, 

V(aX+b)=E[(aX+b-E(aX+b))^2]

.
Or, 

E(aX+b)=aE(X)+b

.
On a donc 

V(aX+b)=E[(aX+b-aE(X)-b)^2]=E[(aX-aE(X))^2]=E[a^2(X-E(X))^2].

Finalement, 

V(aX+b)=a^2E[(X-E(X))^2]=a^2V(X)

Propriété

Soit 

X

et

Y

 deux variables aléatoires réelles indépendantes,définies sur un même univers \(\Omega\). Alors 

V(X+Y)=V(X)+V(Y)

.
Plus généralement, si 

X_1

,

X_2

, ..., 

X_n

 sont des variables aléatoires réellesdeux à deux indépendantes, alors 

V(X_1+X_2+\dots + X_n)=V(X_1)+V(X_2)+\dots+V(X_n)

.

Remarque

L'hypothèse d'indépendance des variables aléatoires est indispensable ! 

Exemple

On lance une pièce parfaitement équilibrée et on regarde de quel côté la pièce tombe.

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;•&nbsp;On note 

X

 la variable aléatoire qui vaut 0 si la pièce tombe sur Face et 1 si la pièce tombe sur Pile.

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;•&nbsp;On note 

Y

 la variable aléatoire qui vaut 1 si la pièce tombe sur Pile et 1 si la pièce tombe sur Face.

Ainsi, 

X

et

Y

 suivent des lois de Bernoulli, toutes deux de paramètre 

\dfrac{1}{2}

. On rappelle que la variance d'une variable suivant une loi de Bernoulli de paramètre 

p

est

p(1-p)

.
Ainsi, 

V(X)=V(Y)=\dfrac{1}{2}\times \left(1-\dfrac{1}{2}\right)=\dfrac{1}{4}

. On a donc 

V(X)+V(Y)=\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4}=\dfrac{1}{2}

.

Cependant, il est impossible d'avoir 

X=0

et

Y=0

 ou d'avoir 

X=1

et

Y=1

 : cela signifierait en effet que la pièce est à la fois tombée sur Pile et sur Face.
On a donc 

X=0

et

Y=1

 (si la pièce tombe sur Face) ou bien 

X=1

et

Y=0

 (si la pièce tombe sur Pile). Dans tous les cas, on a 

X+Y=1

. En particulier, la variable aléatoire 

X+Y

 est constante, sa variance est donc nulle : 

V(X+Y)=0

.
Ainsi, on a 

V(X)+V(Y)\neq V(X+Y)

.

Application à la loi binomiale

Propriété

Soit 

n

 un entier naturel et

p\in]0;1[

.
On considère 

n

 variables aléatoires 

X_1

,

X_2

, ..., 

X_n

indépendanteset suivant toutes une loi de Bernoulli de paramètre 

p

.
On appelle 

X

 la variable aléatoire définie par 

X=X_1+X_2+\dots+X_n

.
Alors 

X

 suit une loi binomiale de paramètres 

n

et

p

.

Remarque

Pour tout entier \(i\)compris entre 

1

et `n`, la variable aléatoire 

X_i

 prend ses valeurs dans 

\{0;1\}

, la valeur 

1

correspondant au succès de l'épreuve de Bernoulli associée à cette variable. La somme des variables 

X_i

 correspond donc au nombre de fois où la valeur 

1

est obtenue, c'est-à-dire au nombre de succès de ces épreuves identiques et indépendantes : on se retrouve bien dans le cadre de la loi binomiale.

Propriété

Soit 

n

 un entier naturel et

p\in]0;1[

. Soit

X

une variable aléatoire suivant une loi binomiale de paramètres 

n

et

p

. Alors :

E(X)=np

V(X)=np(1-p)

\sigma(X)=\sqrt{p(1-p)}

Démonstration

Soit 

X_1

,

X_2

, ..., 

X_n

des variables indépendantes suivant toutes une loi de Bernoulli de paramètres 

n

et

p

.
Soit 

X=X_1+X_2+\dots+X_n

. 
D'après la propriété précédente, 

X

 suit une loi binomiale de paramètres 

n

et

p

.

Par ailleurs, par linéarité de l'espérance, on a 

E(X)=E(X_1)+E(X_2)+\dots +E(X_n)

.
Or, 

E(X_1)=E(X_2)=\dots=E(X_n)=p

.
Ainsi, 

E(X)=np

.

De plus, les variables aléatoires 

X_1

,

X_2

, ..., 

X_n

étant indépendantes, on a également 

V(X)=V(X_1)+V(X_2)+\dots +V(X_n)

.
Or, 

V(X_1)=V(X_2)=\dots=V(X_n)=p(1-p)

.
Ainsi, 

V(X)=np(1-p)

.

Enfin, 

\sigma(X)=\sqrt{V(X)}=\sqrt{np(1-p)}

.

Échantillon de variables aléatoires

Définition

Soit 

n

 un entier naturel.
On appelle échantillon de taille 

n

 tout 

n

-uplet de variables aléatoiresindépendantes 

(X_1, X_2, \dots, X_n)

 suivant toutes la même loi.

Exemple

On lance cinq fois de suite un dé à 6 faces, numérotées de 1 à 6, et on appelle 

X_i

 la variable aléatoire qui donne le résultat du 

i

-ième lancer. 

(X_1, X_2, X_3, X_4, X_5)

 est alors un échantillon de taille 5.

Variables aléatoires somme et moyenne d'un échantillon

Définition

Soit 

n

 un entier naturel et 

(X_1,X_2,\dots,X_n)

 un échantillon de taille 

n

.

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;•&nbsp;La variable aléatoiresomme, notée 

S_n

, est la variable aléatoire définie par 

S_n=X_1+X_2+\dots+X_n

.

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;•&nbsp;La variable aléatoiremoyenne, notée 

M_n

, est la variable aléatoire définie par 

M_n=\dfrac{X_1+X_2+\dots+X_n}{n}=\dfrac{S_n}{n}

Propriété

Soit 

n

 un entier naturel et 

(X_1,X_2,\dots,X_n)

 un échantillon de taille 

n

. On a les résultats suivants :

E(S_n)=n \times E(X_1)

et

V(S_n)=n \times V(X_1)

E(M_n)=E(X_1)

et \(V(M_n)=\dfrac{V(X_1)}{n}\)

Démonstration

Cespropriétés découlent naturellement de la linéarité de l'espérance.

Soit \(n\) un entier naturel et 

(X_1,X_2,\dots,X_n)

 un échantillon de taille 

n

.
On a alors 

E(S_n)=E(X_1)+E(X_2)+\dots+E(X_n)

.
Les 

X_i

 étant de même loi, leurs espérances sont égales. Ainsi, 

E(S_n)=n\times E(X_1)

 puis 

E(M_n)=E\left(\dfrac{S_n}{n}\right)=\dfrac{E(S_n)}{n}=\dfrac{n\times E(X_1)}{n}=E(X_1)

.

Par ailleurs, les variables aléatoires 

X_1

,

X_2,

..., 

X_n

 étantindépendantes, on a alors 

V(S_n)=V(X_1)+V(X_2)+\dots +V(X_n)=n \times V(X_1)

 puis 

V(M_n)=V\left(\dfrac{S_n}{n}\right)=\dfrac{V(S_n)}{n^2}=\dfrac{n\times V(X_1)}{n^2}=\dfrac{V(X_1)}{n}

.

Exemple

On considère une variable aléatoire 

X

 qui suit une loi binomiale de paramètres 

3

et

\dfrac{1}{3}

.
On rappelle que 

E(X)=3\times \dfrac{1}{3}

et

V(X)=3\times\dfrac{1}{3}\times \left(1-\dfrac{1}{3}\right)

.
On considère un échantillon 

(X_1, X_2, \dots, X_{100})

 de 100 variables aléatoiresindépendantes de même loi que 

X

.
On note 

M_{100}=\dfrac{1}{100}(X_1+X_2+\dots+X_{100})

.
On a alors 

E(M_{100})=E(X)=1

 et \(V(M_{100})=\dfrac{V(X)}{100}=\dfrac{2}{300}\).