Appliquer

WIMS : espérance, variance et écart-type de aX + bY

Espérance et variance (1)

Soit 

X

et

Y

deux variables aléatoires réelles indépendantes telles que 

E(X)=3

,

V(X)=1

,

E(Y)=-5

et

V(Y)=2

.

1.Soit 

Z_1=2X+3Y

Donner l'espérance et la variance de 

Z_1

.

2.Soit 

Z_2=4X-2Y

Donner l'espérance et la variance de 

Z_2

.

3.Soit 

Z_3=4X+Y-3

Donner l'espérance et la variance de 

Z_3

.

Espérance et variance (2)

On considère deux variables aléatoires réelles 

X

et

Y

indépendantes dont les lois sont résumées dans les tableaux suivants.

\begin{array}{|l|c|c|}\hline k & 2& 3 \\\hline P(X=k) & \dfrac{1}{3} & \dfrac{2}{3} \\\hline \end{array}

\begin{array}{|l|c|c|c|}\hline k & 1& 4 & 5 \\\hline P(Y=k) & \dfrac{1}{4} & \dfrac{1}{2} & \dfrac{1}{4} \\\hline \end{array}

1.Calculer 

E(X)

et

E(Y)

.

2.En déduire 

E(X+Y)

,

E(2X+3Y)

.

3.Calculer 

V(X)

et

V(Y)

.

4.En déduire 

V(X+Y)

et

V(2X+3Y)

.

Variable centrée réduite

En statistique, on dit qu'une variable aléatoire est centrée réduite si son espérance est nulle et sa variance vaut 1. Ceci permet, si l'on analyse des données quantitatives de différents types, d'obtenir des données indépendantes de l'unité ou de l'échelle choisie.

Soit 

X

 une variable aléatoire non constante et  

Y=\dfrac{X-E(X)}{\sigma(X)}

. Montrer que la variable aléatoire 

Y

est centrée réduite.

Variable moyenne

Soit 

X

une variable aléatoire d'espérance 4 et de variance 2.
On considère un échantillon

(X_1, \ldots, X_n)

 de variables aléatoires indépendantes et de même loi que 

X

et on note

M_n = \dfrac{1}{n} (X_1+X_2+\ldots + X_n)

.

1. Donner l'espérance et la variance de 

M_n

.

2.À partir de quelle valeur de

n

 la variance de 

M_n

est-elle inférieure à 

10^{-4}

?

Appliquer

Opérations sur les variables aléatoires

Somme et produit d'une variable aléatoire par un réel

Somme de deux variables indépendantes

Espérance et variance

WIMS : espérance, variance et écart-type de aX + bY

Espérance et variance (1)

Espérance et variance (2)

Variable centrée réduite

Variable moyenne

WIMS : combinaison de lois binomiales

Loi des grands nombres

Appliquer l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev

Bienaymé-Tchebychev et loi binomiale

Appliquer l'inégalité de concentration