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On considère la variable aléatoire

Sommaire

Opérations sur les variables aléatoiresSomme et produit d'une variable aléatoire par un réelSomme de deux variables indépendantes
Espérance et varianceWIMS : espérance, variance et écart-type de aX + bYEspérance et variance (1)Espérance et variance (2)Variable centrée réduiteVariable moyenneWIMS : combinaison de lois binomiales
Loi des grands nombresAppliquer l'inégalité de Bienaymé-TchebychevBienaymé-Tchebychev et loi binomiale
Appliquer l'inégalité de concentration

Opérations sur les variables aléatoires

Somme et produit d'une variable aléatoire par un réel

On considère la variable aléatoire
XXX
dont la loi est résumée dans le tableau suivant.
k−3−124P(X=k)1525110…\begin{array}{|l|c|c|c|c|}\hline k & -3& -1 & 2 & 4 \\\hline P(X=k) & \dfrac{1}{5} & \dfrac{2}{5} & \dfrac{1}{10} & \dots \\\hline \end{array}kP(X=k)​−351​​−152​​2101​​4…​​
1.Compléter ce tableau avec la probabilité manquante.
2.Donner la loi de la variable aléatoire 
Y=X+2Y=X+2Y=X+2
.
3.Donner la loi de variable aléatoire 
Z=2X−1Z=2X-1Z=2X−1
.

Somme de deux variables indépendantes

On considère deux variables aléatoires 
XXX
et 
YYY
indépendantes dont les lois sont résumées dans les tableaux suivants.
k134P(X=k)1314…\begin{array}{|l|c|c|c|}\hline k & 1& 3 & 4 \\\hline P(X=k) & \dfrac{1}{3} & \dfrac{1}{4} & \ldots \\\hline \end{array}kP(X=k)​131​​341​​4…​​
k123P(Y=k)1515…\begin{array}{|l|c|c|c|}\hline k & 1& 2 & 3 \\\hline P(Y=k) & \dfrac{1}{5} & \dfrac{1}{5} & \ldots \\\hline \end{array}kP(Y=k)​151​​251​​3…​​
1.Compléter ces tableaux avec les probabilités manquantes.
2.Donner l'ensemble des valeurs prises par la variable aléatoire 
Z=X+YZ=X+YZ=X+Y
.
3.Construire le tableau résumant la loi de 
ZZZ
.

Espérance et variance

WIMS : espérance, variance et écart-type de aX + bY

Espérance et variance (1)

Soit 
XXX
et 
YYY
deux variables aléatoires réelles indépendantes telles que 
E(X)=3E(X)=3E(X)=3
, 
V(X)=1V(X)=1V(X)=1
, 
E(Y)=−5E(Y)=-5E(Y)=−5
 et 
V(Y)=2V(Y)=2V(Y)=2
.
1.Soit 
Z1=2X+3YZ_1=2X+3YZ1​=2X+3Y
Donner l'espérance et la variance de 
Z1Z_1Z1​
.
2.Soit 
Z2=4X−2YZ_2=4X-2YZ2​=4X−2Y
Donner l'espérance et la variance de 
Z2Z_2Z2​
.
3.Soit 
Z3=4X+Y−3Z_3=4X+Y-3Z3​=4X+Y−3
Donner l'espérance et la variance de 
Z3Z_3Z3​
.

Espérance et variance (2)

On considère deux variables aléatoires réelles 
XXX
et 
YYY
indépendantes dont les lois sont résumées dans les tableaux suivants.
k23P(X=k)1323\begin{array}{|l|c|c|}\hline k & 2& 3 \\\hline P(X=k) & \dfrac{1}{3} & \dfrac{2}{3} \\\hline \end{array}kP(X=k)​231​​332​​​
k145P(Y=k)141214\begin{array}{|l|c|c|c|}\hline k & 1& 4 & 5 \\\hline P(Y=k) & \dfrac{1}{4} & \dfrac{1}{2} & \dfrac{1}{4} \\\hline \end{array}kP(Y=k)​141​​421​​541​​​
1.Calculer 
E(X)E(X)E(X)
 et 
E(Y)E(Y)E(Y)
.
2.En déduire 
E(X+Y)E(X+Y)E(X+Y)
, 
E(2X+3Y)E(2X+3Y)E(2X+3Y)
.
3.Calculer 
V(X)V(X)V(X)
 et 
V(Y)V(Y)V(Y)
.
4.En déduire 
V(X+Y)V(X+Y)V(X+Y)
 et 
V(2X+3Y)V(2X+3Y)V(2X+3Y)
.

Variable centrée réduite

En statistique, on dit qu'une variable aléatoire est centrée réduite si son espérance est nulle et sa variance vaut 1. Ceci permet, si l'on analyse des données quantitatives de différents types, d'obtenir des données indépendantes de l'unité ou de l'échelle choisie.
Soit 
XXX
 une variable aléatoire non constante et  
Y=X−E(X)σ(X)Y=\dfrac{X-E(X)}{\sigma(X)}Y=σ(X)X−E(X)​
. Montrer que la variable aléatoire 
YYY
est centrée réduite.

Variable moyenne

Soit 
XXX
une variable aléatoire d'espérance 4 et de variance 2.
On considère un échantillon
(X1,…,Xn)(X_1, \ldots, X_n)(X1​,…,Xn​)
 de variables aléatoires indépendantes et de même loi que 
XXX
et on note
Mn=1n(X1+X2+…+Xn)M_n = \dfrac{1}{n} (X_1+X_2+\ldots + X_n)Mn​=n1​(X1​+X2​+…+Xn​)
.
1. Donner l'espérance et la variance de 
MnM_nMn​
.
2.À partir de quelle valeur de
nnn
 la variance de 
MnM_nMn​
est-elle inférieure à 
10−410^{-4}10−4
?

WIMS : combinaison de lois binomiales


Loi des grands nombres

Appliquer l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev

Exercice 1
Soit 
XXX
une variable aléatoire d'espérance 4 et de variance 1.
1.Traduire l'inégalité
∣X−4∣⩾2|X-4|\geqslant 2∣X−4∣⩾2
 en terme d'intervalle.
2.À l'aide de l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, donner une minoration de
P(∣X−E(X)∣∈]2;6[)P(|X-E(X)| \in ]2;6[)P(∣X−E(X)∣∈]2;6[)
.
Exercice 2
Soit 
XXX
 une variable aléatoire non constante.
À l'aide de l'inégalité de Bienaymé-Thebychev, donner une majoration de 
P(∣X−E(X)∣⩾2σ(X))P(|X-E(X)|\geqslant 2\sigma(X))P(∣X−E(X)∣⩾2σ(X))
 et de 
P(∣X−E(X)∣⩾3σ(X))P(|X-E(X)|\geqslant 3\sigma(X))P(∣X−E(X)∣⩾3σ(X))
.

Bienaymé-Tchebychev et loi binomiale

Soit 
nnn
 un entier naturel et 
p∈]0;1[p\in ]0;1[p∈]0;1[
.
On considère une variable aléatoire 
XXX
 suivant une loi binomiale de paramètres 
nnn
 et 
ppp
.
1.Montrer que, pour tout réel 
x∈]0;1[x\in]0;1[x∈]0;1[
, on a 
0<x(1−x)⩽140<x(1-x)\leqslant \dfrac{1}{4}0<x(1−x)⩽41​
2.En déduire que, pour tout réel strictement positif 
δ\deltaδ
, on a 
P(∣Xn−p∣⩾δ)⩽14nδ2P\left(\left|\dfrac{X}{n}-p\right|\geqslant \delta\right) \leqslant \dfrac{1}{4n\delta ^2}P(​nX​−p​⩾δ)⩽4nδ21​
.

Appliquer l'inégalité de concentration

Soit 
XXX
une variable aléatoire d'espérance 5 et de variance 2.
On considère un échantillon
(X1,…,Xn)(X_1, \ldots, X_n)(X1​,…,Xn​)
de variables aléatoires indépendantes de même loi que 
XXX
et on note
Mn=1n(X1+X2+…+Xn)M_n = \dfrac{1}{n} (X_1+X_2+\ldots + X_n)Mn​=n1​(X1​+X2​+…+Xn​)
.
1.Soit 
δ\deltaδ
un réel strictement positif et 
nnn
un entier naturel non nul.
Écrire l'inégalité de concentration pour 
MnM_nMn​
.
2.En déduire l'entier 
nnn
à partir duquel on a 
P(∣Mn−5∣⩾0,05)⩽0,01P(|M_n-5|\geqslant 0,05 ) \leqslant 0,01P(∣Mn​−5∣⩾0,05)⩽0,01
.