* Extension de garantie
Une entreprise commercialise des laves-vaisselle et propose à ses clients une extension de garantie de 3 ans au prix de 65 euros. Si une panne irréparable survient au cours de cette période, l'entreprise remboursera alors les 399 euros correspondant au prix du lave-vaisselle.
D'après les statistiques relevées par l'entreprise, 11,5 % des laves-vaisselle tombent en panne durant cette période de 3 ans.
Un client achète un lave-vaisselle avec extension de garantie.
1.On note
X
la variable aléatoire qui vaut 1 si le lave-vaisselle tombe en panne durant la période couverte par l'extension de garantie et 0 sinon. Quelle est la loi de
X
?
2.On note
Y
le gain réalisée par l'entreprise grâce à l'extension de garantie.a.Exprimer
Y
en fonction de
X
.b.Donner la loi de
Y
.c.Calculer
E(Y)
.
L'extension de garantie est-elle avantageuse pour l'entreprise ou pour le client ?
** Somme de lois binomiales
Soit
n
et
m
deux entiers naturels,
p\in ]0;1[
.
On considère deux variables aléatoires indépendantes
X
et
Y
.
On suppose que
X
suit une loi binomiale
\mathcal{B}(n,p)
et
Y
suit une loi binomiale
\mathcal{B}(m,p)
.
Quelle est la loi de
X+Y
?
*** Marche aléatoire
On place un pion au point d'abscisse 0 d'une droite graduée.
Soit
. D'une étape à l'autre, le pion se déplace d'un cran à droite avec une probabilité
et d'un cran à gauche avec une probabilité
.
On suppose que ces déplacements sont tous indépendants.
Pour tout entier naturel non nul
, on note
la variable aléatoire qui vaut 1 si le \(n\)-ième déplacement du pion est un déplacement vers la droite et qui vaut
sinon.
On note par ailleurs
la position de ce pion après
déplacements.
1.Exprimer, pour tout entier naturel
,
en fonction de
, ...,
.
2.Déterminerles lois de
et de
.
3. Justifier que, pour tout entier naturel
, les valeurs prises par la variable aléatoire
sont les nombres entiers compris entre
et
(ces deux valeurs incluses) et de même parité que
.
4.a.Vérifier que, pour tout entier naturel
,
suit une loi de Bernoulli de paramètre
.b.En déduire la loi de
.c.Déterminer la probabilité qu'après
étapes, le pion se situe à son point de départ.