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Une entreprise commercialise des laves-vaisselle et propose à ses clients une extension de garantie de...

Sommaire

Opérations sur les variables aléatoires* Extension de garantie** Somme de lois binomiales*** Marche aléatoire
Espérance et variance* WIMS : construction d'une variable aléatoire* Espérance lors d'un jeu de hasard* Tirage dans une urne** Menus dans un restaurant** Concours Marsupial !* Écart-type*** Appels téléphoniques*** Rangement dans des tiroirs** QCM
Loi des grands nombres** Trafic sur une autoroute** Lancers de dé** Proportion inconnue*** Roulette et casino*** Surréservation

Opérations sur les variables aléatoires

* Extension de garantie

Une entreprise commercialise des laves-vaisselle et propose à ses clients une extension de garantie de 3 ans au prix de 65 euros. Si une panne irréparable survient au cours de cette période, l'entreprise remboursera alors les 399 euros correspondant au prix du lave-vaisselle.
D'après les statistiques relevées par l'entreprise, 11,5 % des laves-vaisselle tombent en panne durant cette période de 3 ans.
Un client achète un lave-vaisselle avec extension de garantie.
1.On note 
X
la variable aléatoire qui vaut 1 si le lave-vaisselle tombe en panne durant la période couverte par l'extension de garantie et 0 sinon. Quelle est la loi de 
X
?
2.On note 
Y
le gain réalisée par l'entreprise grâce à l'extension de garantie.a.Exprimer 
Y
en fonction de 
X
.b.Donner la loi de 
Y
.c.Calculer 
E(Y)
.
L'extension de garantie est-elle avantageuse pour l'entreprise ou pour le client ?

** Somme de lois binomiales

Soit 
n
 et 
m
 deux entiers naturels, 
p\in ]0;1[
.
On considère deux variables aléatoires indépendantes 
X
 et 
Y
.
On suppose que 
X
 suit une loi binomiale 
\mathcal{B}(n,p)
 et 
Y
 suit une loi binomiale 
\mathcal{B}(m,p)
.
Quelle est la loi de 
X+Y
?

*** Marche aléatoire

On place un pion au point d'abscisse ​0 d'une droite graduée.
Soit
p∈[0;1]p\in[0;1]p∈[0;1]
. D'une étape à l'autre, le pion se déplace d'un cran à droite avec une probabilité 
ppp
 et d'un cran à gauche avec une probabilité
1−p1-p1−p
.
On suppose que ces déplacements sont tous indépendants.
Pour tout entier naturel non nul 
nnn
, on note 
XnX_nXn​
 la variable aléatoire qui vaut 1 si le \(n\)-ième déplacement du pion est un déplacement vers la droite et qui vaut 
−1-1−1
 sinon.
On note par ailleurs 
YnY_nYn​
 la position de ce pion après 
nnn
 déplacements.
1.Exprimer, pour tout entier naturel 
nnn
, 
YnY_nYn​
 en fonction de 
X1X_1X1​
, ..., 
XnX_nXn​
.
2.Déterminerles lois de 
Y1Y_1Y1​
 et de 
Y2Y_2Y2​
.
3. Justifier que, pour tout entier naturel 
nnn
, les valeurs prises par la variable aléatoire 
YnY_nYn​
 sont les nombres entiers compris entre 
−n-n−n
 et 
nnn
 (ces deux valeurs incluses) et de même parité que 
nnn
.
4.a.Vérifier que, pour tout entier naturel 
nnn
, 
Xn+12\dfrac{X_n+1}{2}2Xn​+1​
 suit une loi de Bernoulli de paramètre 
ppp
.b.En déduire la loi de 
Yn+n2\dfrac{Y_n+n}{2}2Yn​+n​
.c.Déterminer la probabilité qu'après 
nnn
 étapes, le pion se situe à son point de départ.

Espérance et variance

* WIMS : construction d'une variable aléatoire

* Espérance lors d'un jeu de hasard

On lance simultanément trois pièces de monnaie et on regarde sur quels côtés elles tombent.
1.On note 
X
le nombre de FACE obtenus. Construire le tableau résumant la loi de 
X
.
2.On note
Y
la variable aléatoire qui vaut 1 si les trois pièces tombent du même côté et 0 sinon.a.Quelle est la loi de 
Y
? On précisera la valeur du ou des paramètres(s).b.Que vaut l'espérance de 
Y
?
3.Un joueur mise 2 euros puis lance simultanément trois pièces équilibrées. Si les trois pièces tombent sur les mêmes faces,le joueurreprend sa mise et remporte 5 euros supplémentaires. Sinon, il perd sa mise. On note 
Z
la variable aléatoire qui détermine le gain algébrique du joueura.Justifier que 
Z=7Y-2
.b.En déduire l'espérance de
Z
. Ce jeu est-il équitable ?

* Tirage dans une urne

Une urne contient 100 jetons parmi lesquels 10 sont gagnants. Pour jouer à la loterie, un joueurpaye10 euros et tire au hasard et successivement deux jetons, en remettant entre temps le jeton tiré. Chaque jeton gagnant tiré lui rapporte 20 euros.
1.On note 
X
le nombre de jetons gagnants tirés. Quelle est la loi de 
X
?
2.Que vaut l'espérance de 
X
?
3.On note 
Y
le gain algébrique d'un joueur. Expliquer pourquoi
Y=20X-10
.
4.En déduire l'espérance de
Y
. Ce jeu est-il équitable ?

** Menus dans un restaurant

Un restaurateur propose au menu de son restaurant deux entrées, trois plats et deux desserts différents.
D'après les statistiques relevées par ce restaurateur :
  • 60 % des clients ne prennent pas d'entrée. 30 % choisissent l'entrée à 9 euros et 10 % optent pour l'entrée à 11 euros ;
  • 50 % des clients choisissent le plat à 16 euros, 30 % choisissent le plat à 20 euros et 20 % choisissent le plat à 25 euros ;
  • 30 % des clients ne prennent pas de dessert. 50 % des clients choisissent le dessert à 6 euros et 20 % choisissent le dessert à 8 euros.
On choisit un client du restaurant au hasard.
On note 
X1X_1X1​
, 
X2X_2X2​
 et 
X3X_3X3​
 les variables aléatoires correspondant respectivement aux prix de l'entrée, du plat et du dessert choisi par ce client.
1.Déterminer les lois de probabilités de
X1X_1X1​
, 
X2X_2X2​
 et 
X3X_3X3​
 .
2.Calculer les espérances de ces variables aléatoires.
3.On note 
XXX
 le prix total du repas.a.Exprimer 
XXX
 en fonction de
X1X_1X1​
, 
X2X_2X2​
 et 
X3X_3X3​
.b.En déduire le coût moyen du repas chez ce restaurateur.
4.Le restaurateur affirme que 28 % des clients choisissent de prendre à la fois une entrée et un dessert(en plus du plat). Cette affirmation est-elle exacte ?

** Concours Marsupial !

Leconcours Marsupial est un concours sous forme de QCM de 24 questions. Pour chaque question, 4 réponses sont proposées et une seule d'entre elles est exacte.
Le décompte des points se fait de la manière suivante : en cas de bonne réponse, les questions 1 à 8 rapportent chacune 3 points, les questions 9 à 16 rapportentchacune 4 points et les questions 17 à 24 rapportentchacune 5 points. Une réponse incorrecte coûte un quart des points prévus pour la question tandis qu'une absence de réponse ne retire aucun point.
Par ailleurs, pour éviter les notes négatives, chaque candidat se voit attribuer d'office 25 points.
Un élève participe au concours en répondant à chaque question au hasard et de manière indépendante. En moyenne, combien peut-il espérer avoir de points ?

* Écart-type

Soit 
XXX
 et 
YYY
 deux variables aléatoires réelles indépendantes telles que 
σ(X)=3\sigma(X)=3σ(X)=3
 et
σ(Y)=4\sigma(Y)=4σ(Y)=4
. Que vaut 
σ(X+Y)\sigma(X+Y)σ(X+Y)
?

*** Appels téléphoniques

Un commercial appelle 
nnn
 clients. Chaque client a une probabilité de répondre à l'appel avec une probabilité 
ppp
. Une fois tous les clients appelés une première fois, le commercialappelle de nouveautous les clients qui n'ont pas répondu au premier appel.
On appelle 
XXX
 la variable aléatoire qui donne le nombre de clients ayant répondu au premier appel et 
YYY
 la variable aléatoire qui donne le nombre de clients ayant répondu au deuxième appel.
1.Déterminer la loi de 
XXX
. On précisera ses paramètres.
2.En déduire la valeur de 
E(X)E(X)E(X)
.
3.Soit 
mmm
 un entier naturel compris entre 0 et
nnn
. Soit 
kkk
 un entier compris entre 0 et
20−m20-m20−m
.
Que vaut 
PX=m(Y=k)P_{X=m}(Y=k)PX=m​(Y=k)
 ?
4.On considère la variable aléatoire 
Z=n−X−YZ = n - X - YZ=n−X−Y
.a.Que représente cette variable aléatoire ?b. Justifier que 
ZZZ
 suit une loi binomiale de paramètres 
nnn
 et 
(1−p)2(1-p)^2(1−p)2
.c.En déduire l'espérance de 
ZZZ
 puis celle de 
YYY
.d.Calculer la variance de 
ZZZ
. Peut-on en déduire celle de 
YYY
?

*** Rangement dans des tiroirs

On range 
n
objets dans une commode contenant 
n
tiroirs, chaque objet étant placé au hasard et indépendamment des autres objetsdans l'un de ces tiroirs.
L'objectif de cet exercice est de déterminer le nombre moyen de tiroirs vides à l'issue de cette expérience.
Partie A - Étude de cas particuliers
1.On suppose qu'il y a 2 tiroirs et 2 objets à ranger.  a.On note
X
 la variable aléatoire qui compte le nombre de tiroirs vides à l'issue du rangement des 2 objets. Construire le tableau donnant la loi de 
X
.
    b.En déduire l'espérance de
X
.
2.On suppose qu'il y a 3 tiroirs et 3 objets à ranger dans la commode. Un rangement peut alors être assimilé à un 3-uplet de {1 ; 2 ; 3}. Par exemple, le 3-uplet (2 ; 1 ; 2) signifie que le premier objet est rangé dans le tiroir 2, le deuxième objet dans le tiroir 1 et le troisième objet dans le tiroir 2.
    a.Combien de rangements différents peut-on effectuer ?
    b.Combien de rangements laissant le tiroir 1 vide peut-on effectuer ?
    c.Pour
k \in \{ 1 ; 2 ; 3\}
, on note
X_k
la variable aléatoire qui vaut 1 si le tiroir 
k
est vide et 0 sinon. Quelle est la loi de 
X_k
?
    d.On considère la variable aléatoire
X=X_1+X_2+X_3
. Que vaut 
E(X)
? Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.
Partie B - Cas général
On dispose désormais de
n
objets que l'on répartit au hasardet de manière indépendante dans les 
n
tiroirs.
1.Pour
k \in \{ 1 ; 2 ; \ldots ; n\}
, on note 
X_k
la variable aléatoire qui vaut 1 si le tiroir 
k
est vide et 0 sinon. Montrer que l'espérance de 
X_k
vaut 
(n−1)nnn\dfrac{(n-1)^n}{n^n}nn(n−1)n​
.
2.En déduire le nombre moyen de tiroirs vides à l'issue de cette expérience.

** QCM

Un QCM comporte
n
 questions indépendantes. Pour chaque question, sur les quatre réponses proposées, une seule est exacte. Un étudiant ne connaissant aucune réponse décide de répondre au hasard à toutes les questions.
1.On note 
X
la variable aléatoire égale au nombre de bonnes réponses données par l'étudiant.a.Quelle est la loi suivie par X ?b.Déterminer son espérance.c.Combien doit-il y avoir de questions pour que notre étudiant soit sûr à 99 % de sauver l'honneur ? (c'est-à-dire de donner au moins une bonne réponse)
2.On suppose dans cette question que
n=10
. Une bonne réponse rapporte 1 point et une mauvaise réponse enlève 0,5 point. Notre étudiant, plutôt joueur (ou pas très malin ?), répond toujours à toutes les questions. On note 
N
la variable aléatoire égale à la note (sur 10) de l'étudiant.a. Exprimer 
N
 en fonction de 
X
b. En déduire 
E(N)
. La stratégie de l'étudiant est-elle judicieuse ?
3.Afin d'éviter toute anomalie lors de la saisie des notes, le professeur décide de ramener toute note négative à 0. On note 
T
la variable aléatoire égale à la note (sur 10) de l'étudiant après cet ajustement.a.Quelle est la probabilité que l'étudiant ait une note non nulle ?b.Déterminer 
E(T)
 puis interpréter cette espérance dans le contexte de l'exercice.

Loi des grands nombres

** Trafic sur une autoroute

En 2018, le trafic moyen quotidien de véhicules sur le réseau autoroutier s'élevait à 24 000 voitures, avec une variance de 6 000.
Majorer la probabilité que l'écart entre le nombre de véhicules en circulation lors d'une journée prise au hasard et la moyenne de véhicules recensés soit supérieure ou égale à 1 000, puis à 100.

** Lancers de dé

On jette 3 600 fois un dé équilibré à 6 faces, numérotées de 1 à 6.
On note 
X
la variable aléatoire qui compte le nombre de 1 obtenus.
1.Quelle est la loi de 
X
?
2.Calculer l'espérance et la variance de 
X
.
3.En utilisant l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, minorer la probabilité que le nombre d'apparitions du numéro 1 sur ces 3 600 lancers de dé soit compris entre 480 et 720.

** Proportion inconnue

Une urne contient une proportion 
ppp
de boules blanches.
On effectue 
nnn
tirages d'une boule avec remise.
On note
XnX_nXn​
 le nombre de boules blanches obtenues.
1.Déterminer la loi de
XnX_nXn​
.
2.Démontrer que, pour tout réel
ppp
 de l'intervalle
[0;1][0;1][0;1]
, on a
p(1−p)⩽14p(1-p)\leqslant\dfrac{1}{4}p(1−p)⩽41​
.
3.En appliquant l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev à la variable
XnX_nXn​
, déterminer une condition suffisante sur
nnn
 pour que la probabilité 
ppp
appartienne à l'intervalle 
]Xnn−0,01 ;Xnn+0,01[\left]\dfrac{X_{n}}{n}-0,01 \,;\dfrac{X_{n}}{n}+0,01\right[]nXn​​−0,01;nXn​​+0,01[
 soit supérieure à 0,95 .

*** Roulette et casino

Un joueur joue à la roulette en misant à chaque fois 1 euro sur une couleur (rouge ou noir).
À chaque partie, il récupère sa mise et gagne 1 euro supplémentaire avec une probabilité
1837\dfrac{18}{37}3718​
. Sinon, il perd sa mise.
Pour tout entier naturel
nnn
, on note 
XnX_nXn​
son gain après 
nnn
parties et 
YnY_nYn​
le nombre de parties gagnés parmi les 
nnn
premières parties.
1.Quelle est la loi de 
YnY_nYn​
?
2.Calculer l'espérance et la variance de 
YnY_nYn​
.
3.Exprimer 
XnX_nXn​
en fonction de 
YnY_nYn​
puis donner son espérance et sa variance.
4.À l'aide de l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, déterminerunentier 
nnn
à partir duquel la probabilité que le joueur ait perdu de l'argent après 
nnn
parties soit supérieure ou égale à 0,95.

*** Surréservation

Une compagnie aérienne exploite un avion ayant une capacité de 200 places.
On estime que, sur ce vol, chaque passager à une probabilité 
p=0,8
de se présenter à l'embarquement. On suppose que les présences individuelles des passagers à l'embarquement sont indépendantes.
La compagnie souhaite vendre davantage de billets que de places disponibles tout en limitant le risque de voir trop de personnes se présenter à l'embarquement.
Soit 
n
un entier strictement supérieur à 200, correspondant au nombre de billets vendus. On note 
S_n
le nombre de personnes se présentant à l'embarquement.
1.Quelle est la loi de 
S_n
? Que valent son espérance et sa variance ?
2.On suppose que
n<250
.a.Justifier que, si
Sn⩾200S_n \geqslant 200Sn​⩾200
, alors
∣Sn−0.8n∣⩾200−0,8n|S_n-0.8n| \geqslant 200-0,8n∣Sn​−0.8n∣⩾200−0,8n
.b.En déduire que 
P(Sn⩾200)⩽0,16n(200−0,8n)2P(S_n \geqslant 200) \leqslant \dfrac{0,16n}{(200-0,8n)^2}P(Sn​⩾200)⩽(200−0,8n)20,16n​
.
3. À l'aide du résultat précédent, déterminer le nombre de billets que la compagnie peut vendretout en s'assurant avec une probabilité inférieure à 5 % que plus de 200 clients se présenteront à l'embarquement.