Méthode
On considère une propriété qui dépend d'une variable. On veut démontrer cette propriété. Effectuer un raisonnement par disjonction de cas, c'est séparer le raisonnement suivant les valeurs que peut prendre cette variable : on étudie tous les cas possibles en faisant en sorte de restreindre le nombre de cas à étudier.
Énoncé
Démontrer que la différence des carrés de deux entiers impairs est un multiple de
.
Solution
On considère deux entiers impairs
et
.
Donc il existe deux entiers naturels
et
tels que :\(m=2a + 1\)et
On a :
.
On factorise l'expression :
.
On effectue une disjonction de cas selon la parité de
et
:
• Si
et
sont pairs tous les deux, alors
est pair, donc
est un multiple de
et donc
est un multiple de
.
• Si
et
sont impairs tous les deux, alors
est pair, donc
est un multiple de
et donc
est un multiple de
.
• Si
est pair et
est impair, alors
est pair et l'expression
est paire. Donc
est un multiple de
et donc
est un multiple de
.
• Si
est impair et
est pair, alors
est pair et l'expression
est paire. Donc
est un multiple de
etdonc
est un multiple de
.
Conclusion : on a montré la propriété dans les quatre cas de parité possibles pour\(a\)et
, donc la propriété est vraie pour tous entiers
et
impairs.
✎☛ Raisonnement par contraposée
Propriété
Une implication P⇒Q et sa contraposée (non Q) ⇒ (non P) sont des propositions équivalentes.
Méthode
On veut démontrer une propriété quiest une implication P ⇒ Q.
Effectuer un raisonnement par contraposée, c'est démontrer l'implication (non Q) ⇒ (non P).
Énoncé
Soit
un entier naturel. Démontrer que si
est pair, alors
est pair.
Solution
On effectue un raisonnement par contraposée : on suppose que
est impair et on démontre que
est impair.
Comme
est impair, il existe un entier
tel que
Donc
donc
est impair.
Conclusion:si
est pair, alors
est pair.
✎☛ Raisonnement par l'absurde
Méthode
On veut démontrer une propriété.
Effectuer un raisonnement par l'absurde, c'est supposer que cette propriété est fausse et aboutir à une contradiction.
Énoncé
Démontrer par l'absurde que
est un nombre irrationnel.
Solution
On suppose que ce nombre est rationnel, c'est-à-dire qu'il existe deux entiers naturels non nuls
et
n'ayant aucun diviseur commun autre que\(1\), tels que
.
On a
puis
, ce qui entraîne que
est pair.
est pair implique que
est pair.(Pour la démonstration, voir la perle Raisonnement par contraposée.)
Donc il existe un entier naturel
tel que
.
D'où
.
Et l'égalité
devient
, ce qui se simplifie en
. Donc
est pair.
Donc
et
sont tous les deux pairs. Ils sont divisibles par
.
On aboutit à une contradiction puisque
et
sont supposés n'avoir aucun diviseur commun autre que\(1\).
Conclusion:
est un nombre irrationnel.
Méthode
On veut démontrer une propriété quiest une implication P ⇒ Q.
Effectuer un raisonnement par l'absurde, c'est supposer que P est vraie et que Q est fausse et aboutir à une contradiction, ce qui entraîne que Q est vraie. (En effet, P vraie et Q fausse est le seul cas où l'implication P ⇒ Q est fausse.)
Énoncé 1
Soit\(x\)et
deux réels. Démontrer par l'absurde l'implication suivante : « Si
, alors
. »
Solution
Supposons que
ou
. Alors
étant une somme de deux quantités positives dont l'une est non nulle, elle est elle-même non nulle, ce qui est contradictoire avec l'hypothèse
.
Énoncé 2
Soit\(x\)et
deux nombres réels tels que
soit rationnel et
soit irrationnel. Démontrer, par l'absurde, que
est irrationnel.
Solution
On suppose que
est rationnel. On appelle
ce nombre.
Comme
est une différence de deux nombres rationnels, il est lui-même rationnel, ce qui est contradictoire avec le fait qu'il soit supposé irrationnel.
✎☛ Raisonnement par équivalence
Méthode
On veut démontrer une propriété quiest une équivalence P ⇔ Q. Effectuer un raisonnement par équivalence, c'est :
- soit procéder paréquivalences successives : si P ⇔ R et R ⇔ Q, alors P ⇔ Q ;
- soit procéder par double implication : on démontre l'implication directe P ⇒ Q et l'implication réciproque Q ⇒ P.
Énoncé 1
Résoudre par équivalences l'équation
.
Solution
On procède par équivalences successives.
.
D'où
.
L'ensemble solution est
.
Remarque
Le raisonnement par équivalence permet d'éviter la vérification des solutions.
Énoncé 2
Une suite
est arithmétique si et seulement s'il existe deux réels
et
tels que, pour tout
entier naturel,
.
Solution
On démontre par double implication.
• Supposons
arithmétique de raison
et de premier terme
.Démontrons qu'il existe deux réels
et
tels que, pour tout
entier naturel,
.D'après le cours de première, pour tout
entier naturel,
. Ainsi
et
conviennent.
• Supposons qu'il existe
et
réels tels que, pour tout
entier naturel,
. Démontrons que la suite
est arithmétique.Pour tout
entier naturel,
.Donc la suite
est arithmétique de raison
.
Conclusion: on a démontré par double implication l'équivalence demandée.