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Raisonnements

On considère une propriété qui dépend d'une variable. On veut démontrer cette propriété. Effectuer un...

Sommaire

✎☛ Raisonnement par disjonction de cas✎☛ Raisonnement par contraposée✎☛ Raisonnement par l'absurde✎☛ Raisonnement par équivalence

✎☛ Raisonnement par disjonction de cas

Méthode
On considère une propriété qui dépend d'une variable. On veut démontrer cette propriété. Effectuer un raisonnement par disjonction de cas, c'est séparer le raisonnement suivant les valeurs que peut prendre cette variable : on étudie tous les cas possibles en faisant en sorte de restreindre le nombre de cas à étudier.
Énoncé
Démontrer que la différence des carrés de deux entiers impairs est un multiple de
888
.
Solution
On considère deux entiers impairs
mmm
et
nnn
.
Donc il existe deux entiers naturels
aaa
et
bbb
tels que :\(m=2a + 1\)et
n=2b+1n=2b + 1n=2b+1
On a : 
m2−n2=(2a+1)2−(2b+1)2=4a2+4a−4b2−4bm^2-n^2=(2a + 1)^2 - (2b + 1)^2 = 4a^2 + 4a - 4b^2 - 4bm2−n2=(2a+1)2−(2b+1)2=4a2+4a−4b2−4b
.
On factorise l'expression : 
4a2+4a−4b2−4b=4(a−b)(a+b)+4(a−b)=4(a−b)(a+b+1)4a^2 +4a - 4b^2 - 4b = 4(a - b)(a + b) + 4(a - b) = 4(a - b)(a + b + 1)4a2+4a−4b2−4b=4(a−b)(a+b)+4(a−b)=4(a−b)(a+b+1)
.
On effectue une disjonction de cas selon la parité de​
aaa
et
bbb
​ :
    • Si
aaa
et
bbb
 sont pairs tous les deux, alors
a−ba - ba−b
est pair, donc
4(a−b)4(a - b)4(a−b)
est un multiple de
888
et donc
(2a+1)2−(2b+1)2(2a + 1)^2 - (2b + 1)^2(2a+1)2−(2b+1)2
est un multiple de
888
.
    • Si
aaa
et
bbb
sont impairs tous les deux, alors
a−ba - ba−b
est pair, donc
4(a−b)4(a - b)4(a−b)
est un multiple de
888
et donc
(2a+1)2−(2b+1)2(2a + 1)^2 - (2b + 1)^2(2a+1)2−(2b+1)2
est un multiple de
888
.
    • Si 
aaa
est pair et
bbb
est impair, alors 
b+1b + 1b+1
est pair et l'expression
a+b+1a + b + 1a+b+1
est paire.  Donc
4(a+b+1)4(a + b+1)4(a+b+1)
est un multiple de
888
et donc
(2a+1)2−(2b+1)2(2a + 1)^2 - (2b + 1)^2(2a+1)2−(2b+1)2
est un multiple de
888
.
    • Si 
aaa
est impair et
bbb
est pair, alors 
a+1a + 1a+1
est pair et l'expression
a+b+1a + b + 1a+b+1
est paire. Donc
4(a+b+1)4(a + b+1)4(a+b+1)
est un multiple de
888
etdonc
(2a+1)2−(2b+1)2(2a + 1)^2 - (2b + 1)^2(2a+1)2−(2b+1)2
est un multiple de
888
.
Conclusion : on a montré la propriété dans les quatre cas de parité possibles pour\(a\)et
bbb
, donc la propriété est vraie pour tous entiers
mmm
et
nnn
 impairs.

✎☛ Raisonnement par contraposée

Propriété
Une implication P⇒Q et sa contraposée (non Q) ⇒ (non P) sont des propositions équivalentes.
Méthode
On veut démontrer une propriété quiest une implication P ⇒ Q.
Effectuer un raisonnement par contraposée, c'est démontrer l'implication (non Q) ⇒ (non P).
Énoncé
Soit
aaa
 un entier naturel. Démontrer que si 
a2a^2a2
est pair, alors
aaa
est pair.
Solution
On effectue un raisonnement par contraposée : on suppose que
aaa
est impair et on démontre que 
a2a^2a2
est impair.
Comme
aaa
est impair, il existe un entier
kkk
tel que
a=2k+1a=2k+1a=2k+1
Donc
a2=(2k+1)2=4k2+4k+1a^2=(2k+1)^2=4k^2+4k+1a2=(2k+1)2=4k2+4k+1
donc 
a2a^2a2
est impair.
Conclusion:si 
a2a^2a2
est pair, alors
aaa
est pair.

✎☛ Raisonnement par l'absurde

Méthode
On veut démontrer une propriété.
Effectuer un raisonnement par l'absurde, c'est supposer que cette propriété est fausse et aboutir à une contradiction.
Énoncé
Démontrer par l'absurde que 
2\sqrt 22​
 est un nombre irrationnel.
Solution
On suppose que ce nombre est rationnel, c'est-à-dire qu'il existe deux entiers naturels non nuls
aaa
et
bbb
 n'ayant aucun diviseur commun autre que\(1\), tels que
2=ab\sqrt 2 = \dfrac ab2​=ba​
.
On a 
a=b2a = b\sqrt 2a=b2​
 puis 
a2=2ba^2 = 2ba2=2b
, ce qui entraîne que
a2a^2a2
est pair. 
a2a^2a2
est pair implique que
aaa
est pair.(Pour la démonstration, voir la perle Raisonnement par contraposée.)
Donc il existe un entier naturel 
kkk
tel que
a=2ka=2ka=2k
.
D'où
a2=4k2a^2=4k^2a2=4k2
.
Et l'égalité
a2=2ba^2=2ba2=2b
devient
4k2=2b4k^2=2b4k2=2b
, ce qui se simplifie en
2k2=b2k^2=b2k2=b
. Donc
bbb
est pair.
Donc
aaa
et
bbb
sont tous les deux pairs. Ils sont divisibles par
222
.
On aboutit à une contradiction puisque
aaa
et
bbb
sont supposés n'avoir aucun diviseur commun autre que\(1\).
Conclusion: 
2\sqrt 22​
  est un nombre irrationnel.
Méthode
On veut démontrer une propriété quiest une implication P ⇒ Q.
Effectuer un raisonnement par l'absurde, c'est supposer que P est vraie et que Q est fausse et aboutir à une contradiction, ce qui entraîne que Q est vraie. (En effet, P vraie et Q fausse est le seul cas où l'implication P ⇒ Q est fausse.)
Énoncé 1
Soit\(x\)et
yyy
deux réels. Démontrer par l'absurde l'implication suivante : « Si
x2+y2=0x^2+y^2=0x2+y2=0
, alors
x=y=0x=y=0x=y=0
. »
Solution
Supposons que
x≠0x\neq 0x=0
 ou 
y≠0y\neq 0y=0
. Alors
x2+y2x^2+y^2x2+y2
étant une somme de deux quantités positives dont l'une est non nulle, elle est elle-même non nulle, ce qui est contradictoire avec l'hypothèse 
x2+y2=0x^2+y^2=0x2+y2=0
.
Énoncé 2
Soit\(x\)et
yyy
deux nombres réels tels que
xxx
soit rationnel et 
yyy
soit irrationnel. Démontrer, par l'absurde, que
x+yx+yx+y
est irrationnel.
Solution
On suppose que
x+yx+yx+y
est rationnel. On appelle
z=x+yz=x+yz=x+y
ce nombre.
Comme
y=z−xy=z-xy=z−x
est une différence de deux nombres rationnels, il est lui-même rationnel, ce qui est contradictoire avec le fait qu'il soit supposé irrationnel. 

✎☛ Raisonnement par équivalence

Méthode
On veut démontrer une propriété quiest une équivalence P ⇔ Q. Effectuer un raisonnement par équivalence, c'est :
  • soit procéder paréquivalences successives : si P ⇔ R et R ⇔ Q, alors P ⇔ Q ;
  • soit procéder par double implication : on démontre l'implication directe P ⇒ Q et l'implication réciproque Q ⇒ P.
Énoncé 1
Résoudre par équivalences l'équation
x2=9x^2=9x2=9
.
Solution
On procède par équivalences successives.
x2=9⇔x2−9=0⇔(x−3)(x+3)=0⇔x−3=0 ou x+3=0x^2=9 \Leftrightarrow x^2-9=0 \Leftrightarrow (x-3)(x+3)=0 \Leftrightarrow x-3=0 \text{ ou } x+3=0x2=9⇔x2−9=0⇔(x−3)(x+3)=0⇔x−3=0 ou x+3=0
.
D'où
x2−9  ⟺  x=3 ou x=−3x^2-9 \iff x=3 \text{ ou } x=-3x2−9⟺x=3 ou x=−3
.
L'ensemble solution est
S={−3 ; 3}S= \{-3\ ;\ 3\}S={−3 ; 3}
.
Remarque
Le raisonnement par équivalence permet d'éviter la vérification des solutions.
Énoncé 2
Une suite
(un)(u_n)(un​)
 est arithmétique si et seulement s'il existe deux réels
aaa
et
bbb
tels que, pour tout
nnn
entier naturel, 
un=an+bu_n=an+bun​=an+b
.
Solution
On démontre par double implication.
    • Supposons 
(un)(u_n)(un​)
 arithmétique de raison
rrr
et de premier terme
u0u_0u0​
.Démontrons qu'il existe deux réels
aaa
et
bbb
tels que, pour tout
nnn
entier naturel, 
un=an+bu_n=an+bun​=an+b
.D'après le cours de première, pour tout
nnn
entier naturel,
un=rn+u0u_n = rn+u_0un​=rn+u0​
. Ainsi
a=ra=ra=r
 et
b=u0b=u_0b=u0​
 conviennent.
    • Supposons qu'il existe
aaa
et 
bbb
 réels tels que, pour tout
nnn
entier naturel,
un=an+bu_n=an+bun​=an+b
. Démontrons que la suite
(un)(u_n)(un​)
est arithmétique.Pour tout
nnn
entier naturel, 
un+1−un=a(n+1)+b−(an+b)=an+a+b−an−b=au_{n+1}-u_n=a(n+1)+b-(an+b)=an+a+b-an-b=aun+1​−un​=a(n+1)+b−(an+b)=an+a+b−an−b=a
.Donc la suite
(un)(u_n)(un​)
est arithmétique de raison
aaa
.
Conclusion: on a démontré par double implication l'équivalence demandée.