☆ À n'ouvrir qu'en cas d'urgence ☆

1. a.On pourra s'intéresser au sens de variation de la suite

\left(v_{n}-u_n\right)

.

☛ e - Corrigé

Solution

1.a. \(\displaystyle f(x) = \sum_{k=0}^n\dfrac{x^k}{k!}\text e^{-x}=\text e^{-x}\left(1+x+\dfrac{x^2}{2!}+\ldots+\dfrac{x^n}{n!}\right)\). 
On en déduit que

f(0)=1

.

    b. \(\displaystyle f(1)=\sum_{k=0}^n\dfrac{1}{k!}e^{-1}\) donc 

f(1) =u_n\text e^{-1}=\dfrac{u_n}{\text e}

.

2.a.

f

est dérivable sur 

[0;1]

et

\displaystyle \begin{align}f^{\prime}(x) &= -\text e^{-x}\sum_{k=0}^n \dfrac{x^k}{k!}+\text e^{-x}\sum_{k=1}^n k\dfrac{x^{k-1}}{k!} \\ &=\left( -\sum_{k=0}^n \dfrac{x^k}{k!} +\sum_{k=1}^n\dfrac{x^{k-1}}{(k-1)!}\right)\text e^{-x} \\ &=\left( -\sum_{k=0}^n \dfrac{x^k}{k!} +\sum_{k=0}^{n-1}\dfrac{x^{k}}{k!}\right)\text e^{-x} \\ &= -\dfrac{x^n}{n!}\text e^{-x}\end{align}

f^\prime(0)=0

 et pour tout réel 

x\in]0;1]

,

f^\prime(x)<0

. La fonction 

f

est donc strictement décroissante sur

[0;1]

.

    b.Comme 

f

est strictement décroissante sur

[0;1]

, alors 

f(0)>f(1)

donc 

1>\dfrac{u_n}{\text e}

soit enfin

u_n<\text e

.

3. a.

g

 est dérivable sur 

[0;1]

et

\begin{align}g^\prime(x) &= f^\prime(x)+\dfrac{1}{n!} \\ &= -\dfrac{x^n}{n!}\text e^{-x}+ \dfrac{1}{n!} \\ &=\dfrac{1-x^n\text e^{-x}}{n!} \end{align}

Pour tout réel

x\in[0;1]

,

x^n\leqslant1

et

\text e^{-x}\leqslant1

donc 

x^n\text e^{-x}\leqslant1

et par suite

g^\prime(x)\geqslant0

.

Remarque

On peut noter que 

g^\prime(x)=0\iff x^n\text e^{-x}=1

et que cette équation n'a pas de solution sur 

[0;1]

(en effet, les deux termes du produit sont compris entre 

0

et

1

mais ne prennent pas la valeur 

1

en même temps).
Donc 

g^\prime(x)>0

et

g

est strictement croissante sur

[0;1]

.

    b.On en déduit que 

g(0)<g(1)

4.Des questions

2b

et

3b

, on déduit l'encadrement 

\text e<u_n<\left( 1-\dfrac{1}{n!} \right)\text e

Comme 

\lim\limits_{n \rightarrow +\infty}\dfrac{1}{n!}=0

, alors

\lim\limits_{n \rightarrow +\infty}\left(1- \frac{1}{n!} \right)\text e=\text e

. Donc, d'après le théorème des gendarmes,

\lim\limits_{n \rightarrow +\infty}u_n=\text e

.

On a donc montré que 

\displaystyle { \lim\limits_{n \rightarrow +\infty}\sum_{k=0}^n \dfrac{1}{k!}=\text e}

.

Remarque
De façon plus générale, on peut montrer que

\displaystyle { \lim\limits_{n \rightarrow +\infty}\sum_{k=0}^n \dfrac{x^k}{k!}=\text e^x}

.

⚒ e est irrationnel

1.Si une suite est strictement croissante et converge vers

\ell

, alors tous les termes de la suite sont strictement inférieurs à

\ell

.

4.Le nombre

\displaystyle\sum_{k=0}^q\dfrac{q!}{k!}

 est un entier.

⚒ Convergence des suites adjacentes

☛ e - Corrigé

⚒ e est irrationnel