☆ À n'ouvrir qu'en cas d'urgence ☆

1.Pour tout réel

x

, on a 

\varphi_n'(x)=2nx^{2n-1}

,

\varphi_n''(x)=2n(2n-1)x^{2n-2}

,

\varphi_n^{(n)}(x)=2n(2n-1)...(n+1)x^{n}

.

2.a.Pour tout entier naturel non nul 

n

, on a

f_n^{(n-k)}(x)=n(n-1)...(k+1)x^k=\dfrac{n!}{k!}x^k

.

\(f\)est une fonction convexe sur

\mathbb R

 si et seulement si, pour tous réels

a,b,c

 tels que

a<b<c

1.On peut faire un raisonnement par l'absurde en supposant que 

f

est une fonction convexe bornée non constante. Il existe alors des réels

a

,

b

et

c

 tels que 

a<b<c

Propriété

La fonction 

\ln

est concave sur 

\mathbb {R_+^*}

donc, pour tout réel

\lambda\in[0;1]

, pour tous réels 

X

et

Y

strictement positifs, 

\ln(\lambda X+(1-\lambda )Y)\geqslant\lambda\ln X+(1-\lambda)\ln Y

.

En posant

\lambda = \dfrac{1}{p}

, on a alors

1-\lambda=1-\dfrac{1}{p}=\dfrac{1}{q}

.
On en déduit que 

\ln\left(\dfrac{1}{p}X+\dfrac{1}{q}Y\right)\geqslant\dfrac{1}{p}\ln X+\dfrac{1}{q}\ln Y

.

On pose 

X= x^p

et

Y=y^q

. On a 

\begin{align}\ln\left( \dfrac{x^p}{p}+\dfrac{x^q}{q}\right) &\geqslant \dfrac{1}{p}\ln(x^p)+\dfrac{1}{q}\ln(y^q) \\ &\geqslant \ln(x)+\ln(y)\\ &\geqslant\ln(xy) \end{align}

La fonction exponentielle est croissante sur 

\mathbb {R}

donc

\dfrac{x^p}{p}+\dfrac{x^q}{q}\geqslant xy

.

Exemple

Posons par exemple

\lambda = \dfrac{1}{2}

. On obtient, pour tous réels 

x

et

y

positifs,

f\left( \dfrac{1}{2}x+\dfrac{1}{2}y \right)\leqslant\dfrac{1}{2}f(x)+\dfrac{1}{2}f(y)

.

Pour tout réel

y\geqslant0

,

\lim\limits_{x \rightarrow +\infty}\left( \dfrac{1}{2}x+\dfrac{1}{2}y \right)=+\infty

. Comme

\lim\limits_{X \rightarrow +\infty}f(X)=0

, alors,
par composition, 

\lim\limits_{x \rightarrow +\infty}f\left( \dfrac{1}{2}x+\dfrac{1}{2}y \right)=0

.

En faisant un passage à la limite dans l'inégalité précédente, on obtient que, pour tout réel

y\geqslant0

,

0\leqslant\dfrac{1}{2}f(y)

soit

f(y)\geqslant0

.

f

 est donc positive sur

\mathbb {R_+}

.

2.Soit

\varphi

 la fonction définie sur

\mathbb R

par

\varphi(x)=\dfrac{a-x}{b}\text{e}^{-\frac{a-x}{b}}

.

\varphi

 est dérivable sur

\mathbb R

et

\varphi'(x)=\dfrac{-1}{b}\text{e}^{-\frac{a-x}{b}}+\dfrac{a-x}{b}\times\dfrac1b \text{e}^{-\frac{a-x}{b}}=\dfrac{a-b-x}{b^2}\text{e}^{-\frac{a-x}{b}}

.

⚒ Leibniz et Vandermonde