☆ À n'ouvrir qu'en cas d'urgence ☆

Pour tout réel

x>0,

\begin{align}x^{(x^x)}=(x^x)^x&\Leftrightarrow \mathrm{e}^{x^x\ln x}=\mathrm{e}^{x\ln(x^x)}\\&\Leftrightarrow x^x \ln x=x\ln(x^x)\\&\Leftrightarrow x^x \ln x=x^2\ln x\\&\Leftrightarrow x^2 (x^{x-2}-1)\ln x=0\\&\Leftrightarrow\mathrm{e}^{(x-2)\ln x}-1=0\; \mathrm{ou}\; \ln x=0\; \textrm{car}\;x\neq0\\&\Leftrightarrow(x-2)\ln x=0\; \mathrm{ou}\; x=1\\&\Leftrightarrow x=2\; \mathrm{ou}\;x=1\\\end{align}

L'équation admet deux solutions :

\mathscr{S}=\{1\;;2\}

.

5.Considérer la suite

\left(w_{n}\right)

 définie sur

\mathbb N^*

par

w_n=\left(1+\dfrac{x}{n}\right)^{n}

et déterminer la limite de la suite

\left(\ln\left(w_n\right)\right)

.

1.On pourra étudier les fonctions

g

et

h

 définies sur

\mathbb R_+^*

par

g(x)=\ln(x+1)-\ln(x)-\dfrac{1}{x+1}

et

h(x)=\ln(x+1)-\ln(x)-\dfrac{1}{x}

.

☛ Une équation