On donne ci-dessous la représentation graphique des premiers termes de plusieurs suites géométriques.
1.On donne pour tout entier naturel
n
,
u_n=0,7^n
;
v_n=(-1,2)^n
;
w_n=(-0,8)^n
;
x_n=1,3^n
;
y_n=-0,8^n
et
z_n=-1,2^n
.
Associer chaque suite à sa représentation graphique.
2.Déterminer, parmi ces six suites, celle(s) qui répond(ent) à la contrainte proposée.
a.Une suite majorée et non minorée.
b.Une suite minorée et non majorée.
c.Une suite bornée.
d.Une suite ni minorée, ni majorée.
e.Une suite monotone et bornée.
f.Une suite monotone non bornée.
g.Une suite ni monotone, ni bornée.
h.Une suite bornée et non monotone.
i.Une suite croissante et majorée.
j.Une suite décroissante et minorée.
k.Une suite croissante et non majorée.
l.Une suite décroissante et non minorée.
Forme explicite d'une suite définie par récurrence
Exercice 1
On considère la suite
(u_n)
définie par
u_0=20
et, pour tout entier naturel
n
,
.
Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel
n
,
.
Exercice 2
Soit
(u_n)
la suite définie par
et, pour tout entier naturel
n
non nul,
.
Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel
n
non nul,
.
Récurrence pour montrer une monotonie
Exercice 1
On considère la suite
(u_n)
définie par
u_0=150
et, pour tout entier naturel
n
,
.
1.Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel
n
,
.
2.Que peut-on en déduire pour la suite
(u_n)
?
Exercice 2
On considère la suite
(u_n)
définie par
et, pour tout entier naturel
n
,
u_{n+1}=1,04u_n-156
.
1.Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel
n
,
. Que peut-on en déduire pour la suite
(u_n)
?
2.On définit une suite
(v_n)
par une relation de récurrence identique à celle de
(u_n)
mais en prenant pour premier terme
.
On a donc
et, pour tout entier naturel
n
,
v_{n+1}=1,04v_n-156
.a.Conjecturer la monotonie de la suite
(v_n)
et prouver cette conjecture par récurrence.b.Quelle remarque peut-on faire ?
Récurrence pour montrer qu'une suite est bornée
On considère la suite
(u_n)
définie par
u_0=1
et, pour tout entier naturel
n
,
u_{n+1}=\sqrt{u_n+2
.
Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel
n
,
.
Inégalité de Bernoulli
Soit
a
un réel strictement positif. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel
n
,
.
Escargot de Pythagore
On construit une suite de points
\text{A}_0, \text{A}_1, ..., \text{A}_n
de la façon suivante :
\text{OA}_0=1
;
• pour tout entier naturel
n
,
\text{A}_n\text{A}_{n+1}=1
;
• pour tout entier naturel
n
, le triangle
\text{OA}_n\text{A}_{n+1}
est rectangle en
\text{A}_n
.
Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel
n
,
\text{OA}_n=\sqrt{n+1}
.
Récurrence pour dénombrer
Soit
n
un entier naturel supérieur ou égal à 2.
Démontrer, par récurrence, que lorsque
n
personnes se rencontrent, il y a
poignées de main échangées.
On admettra que chaque personne échange une et une seule poignée de main avec chacune des autres.