Exercice 1
Résoudre dans
\mathbb{R}
les équations suivantes.
1.
\text{e}^x=8
2.
3\text{e}^x=27
3.
12\text{e}^x+25=10
4.
(\text{e}^x+5)(\text{e}^x-10)=0
Exercice 2
Résoudre dans
\mathbb{R}
les inéquations suivantes.
1.
2.
3.
4.
Équations et inéquations avec la fonction ln
Exercice 1
Résoudre dans
\mathbb{R}
les équations suivantes.
1.
\ln(x)=-4
2.
10\ln(x)=5
3.
1-3\ln(x)=7
4.
7\ln(x)-4=22
5.
Exercice 2
Résoudre dans
\mathbb{R}
les inéquations suivantes.
1. \(2\ln(x)-5>0\)
2.\(8-3\ln(x)\leqslant 2\)
3.
4.
4\ln(x)+11<2
Utiliser les propriétés algébriques (1)
Exercice 1
Écrire lesréels suivants en fonction de
\ln(3)
et
\ln(5)
.
1.
\ln(15)
2.
\ln(45text{e})
3.
\ln(75)-\ln(5\text{e}^4)
4.
5.
6.
Exercice 2
Écrire les nombres suivants sous la forme \(\ln(x)\) où
est un réel strictement positif.
1.
2.
.
3.
4.
5.
Utiliser les propriétés algébriques (2)
Exercice 1
On considère la fonction
définie sur
par
.
Exprimer en fonction de
les images suivantes :
,
et
.
Exercice 2
Simplifier les expressions suivantes.
1.
2.
3.
où
est un réel.
4.
5.
6.
où
est un réel strictement positif.
Ensembles de définition
Dans chacun des cas suivants, déterminer l'ensemble de définition de la fonction
définie par
.
1.
2.
3.
4.
5. \(f(x)=\ln\left(\dfrac{4x-6}{1-x}\right)\)
6.
f(x)=\ln\left(\ln(x)\right)
Calculs de limites
Dans chacun des cas suivants, déterminer la limite de la fonction
en
.
1.
;
par valeurs supérieures puis
2.
;
par valeurs supérieures puis
3.
;
par valeurs supérieures puis
4.
;
par valeurs supérieures puis
5.
;\(\alpha=0\) parvaleurs supérieurespuis
6.
;\(\alpha=0\) par valeurs supérieures puis
par valeurs inférieures
Calculs de dérivées
Dans chacun des cas suivants,
• déterminer l'ensemble de définition de
,
• déterminer l'ensemble de dérivabilité de la fonction
puis calculer
.
1.
2.
3.
4.
5.
Études de fonctions
Dans chacun des cas suivants,étudier les variations de la fonction
sur son ensemble de définition.
1.
définie sur
.
2.
définie sur
.
3.
définie sur
.
4.
définie sur
.
5.
définie sur
.
Ln et suites : recherche de seuil
Exercice 1
On considère la suite géométrique
de premier terme
et de raison
.
1.Déterminer la limite de
.
2. a.Justifier qu'il existe un entier naturel
tel que, pour tout entier naturel
, on a
.
b. À l'aide de la fonction logarithme népérien, déterminer le plus petit entier naturel
tel que
.
Exercice 2
Une tasse de thé est servie à une température initiale de 100 °C dans un milieu dont la température est constante.
Pour tout entier naturel
, on note
la température du thé à l’instant
, avec
exprimée en degrés Celsius et
le temps exprimé en minutes.
On a ainsi
.
On admet que, pour tout entier naturel
.
Camille aime boire son thé à une température d'au plus
°C.
Déterminer le temps que devra attendre Camille pour pouvoir boire son thé.
Temps de charge d'une batterie
On branche une batterie vide sur une borne de recharge.
La charge en kilowattheures (kWh) en fonction du temps
(en heures) est modélisée par une fonction
définie sur
, par
.
La batterie a une capacité de 22 kWh (charge complète).
Déterminer la durée nécessaire pour que la batterie soit chargée à 95 %.
On arrondira le résultat à la minute.
Fréquence cardiaque
Lors d’une course de 100 mètres, on a mesuré la fréquence cardiaque d’un sportif.
Cette fréquence cardiaque, en battements par minute, est modélisée par la fonction
définie sur
par
, où
est la distance, en mètre, parcourue par ce sportif depuis le départ de la course.
1.Selon ce modèle, quelle est la fréquence cardiaque de ce sportif au départ de la
course ?
2.Selon ce modèle, au bout de combien de mètres la fréquence cardiaque de ce sportif est-elle supérieure ou égale à 185 battements par minute ? Arrondir à l’unité.