Approfondissements : formules trigonométriques

Propriétés

Pour tout

\alpha, \beta

réels 

\text{cos}(\alpha+\beta)= \text{cos}(\alpha) \text{cos}(\beta)-\text{sin}(\alpha) \text{sin}(\beta)

\text{cos}(\alpha-\beta)= \text{cos}(\alpha) \text{cos}(\beta)+\text{sin}(\alpha) \text{sin}(\beta)

\text{sin}(\alpha+\beta)= \text{sin}(\alpha) \text{cos}(\beta)+\text{cos}(\alpha) \text{sin}(\beta)

\text{sin}(\alpha-\beta)= \text{sin}(\alpha) \text{cos}(\beta)-\text{cos}(\alpha) \text{sin}(\beta)

Exemples

Les formules d'addition et de soustraction permettent de calculer les valeurs exactes de sinus et cosinus comme :

\text{cos}\left(\dfrac{7\pi}{12}\right)=\text{cos}\left(\dfrac{\pi}{3}+\dfrac{\pi}{4}\right)=\text{cos}\left(\dfrac{\pi}{3}\right)\times\text{cos}\left(\dfrac{\pi}{4}\right)-\text{sin}\left(\dfrac{\pi}{3}\right)\times\text{sin}\left(\dfrac{\pi}{4}\right) = \dfrac 1 2 \times \dfrac{\sqrt 2}{2}- \dfrac{\sqrt 3}{2}\times \dfrac{\sqrt 2}{2}

\text{cos}\left(\dfrac{7\pi}{12}\right)=\dfrac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}

\text{sin}\left(\dfrac{\pi}{12}\right)=\text{sin}\left(\dfrac{\pi}{3}-\dfrac{\pi}{4}\right)=\text{sin}\left(\dfrac{\pi}{3}\right)\times\text{cos}\left(\dfrac{\pi}{4}\right)-\text{cos}\left(\dfrac{\pi}{3}\right)\times\text{sin}\left(\dfrac{\pi}{4}\right) = \dfrac{\sqrt 3}{2}\ \times \dfrac{\sqrt 2}{2}-\dfrac 1 2\times \dfrac{\sqrt 2}{2}

\text{sin}\left(\dfrac{\pi}{12}\right)=\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}

On retrouve ainsi la relation

\text{cos}\left(\dfrac{7\pi}{12}\right)=\text{cos}\left(\dfrac{\pi}{2}+\dfrac{\pi}{12}\right)=-\text{sin}\left(\dfrac{\pi}{12}\right)

. Les formules d'addition et de soustraction permettent de démontrer les relations des angles associés. 

Démonstration

On propose ici une preuve visuelle des formules d'addition.
Sur le dessin suivant, 

\alpha

est la mesure de l'angle

\widehat{\text{BAC}}

,

\beta

est la mesure de l'angle

\widehat{\text{CAD}}

et

\text{AD}=1

.

1.Rédiger un protocole de construction de la figure. Justifier que la mesure de l'angle

\widehat{\text{ECD}}

est

\alpha

.
2.Identifier les segments de longueurs respectives

\text{cos}(\alpha+\beta)

et

\text{sin}(\alpha+\beta)

.
3.Justifier

\text{BC}=\text{sin}(\alpha)\text{cos}(\beta)

et

\text{CE}=\text{cos}(\alpha)\text{sin}(\beta)

.
4.Exprimer 

\text{AB}

et

\text{DE}

en fonction de 

\text{cos}(\alpha),\text{cos}(\beta),\text{sin}(\alpha),\text{sin}(\beta)

. 
5.En remarquant que

\text{DE}=\text{FB}

puis

\text{AB}=\text{AF+FB}

et

\text{BE}=\text{BC+CE}

conclure. 

Les formules de soustraction se démontrent à partir de celles de l'addition en écrivant

\text{cos}(\alpha-\beta)=\text{cos}(\alpha+(-\beta))

et

\text{sin}(\alpha-\beta)=\text{sin}(\alpha+(-\beta))

et en utilisant les formules des angles associés.

Propriétés Formules de duplication

Pour tout réel

\alpha

\text{cos}(2\alpha)=\text{cos}^2(\alpha)-\text{sin}^2(\alpha)

\text{sin}(2\alpha)=2\text{sin}(\alpha)\text{cos}(\alpha)

Exemple

On veut déterminer

\text{cos}\left(\dfrac{2\pi}3\right)

et

\text{sin}\left(\dfrac{2\pi}3\right)

 en utilisant la formule de duplication. 

\text{cos}\left(\dfrac{2\pi}3\right)=\text{cos}^2\left(\dfrac{\pi}3\right)-\text{sin}^2\left(\dfrac{\pi}3\right)=\left(\dfrac{1}2\right)^2-\left(\dfrac{\sqrt{3}}2\right)^2=\dfrac{1}4-\dfrac{3}4=-\dfrac{1}2

\text{sin}\left(\dfrac{2\pi}3\right)=2\times \text{sin}\left(\dfrac{\pi}3\right)\times\text{cos}\left(\dfrac{\pi}3\right)=2\times\dfrac{\sqrt{3}}2\times\dfrac 1 2=\dfrac{\sqrt{3}}2

Démonstration

On utilise les formules de somme avec

\beta=\alpha

.
Pour tout réel 

\alpha

,

\text{cos}(2\alpha)=\text{cos}(\alpha+\alpha)=\text{cos}(\alpha)\times\text{cos}(\alpha) -\text{sin}(\alpha)\times \text{sin}(\alpha)=\text{cos}^2(\alpha)-\text{sin}^2(\alpha)

\text{sin}(2\alpha)=\text{sin}(\alpha+\alpha)=\text{sin}(\alpha)\times\text{cos}(\alpha)+\text{cos}(\alpha)\times\text{sin}(\alpha)=2\text{sin}(\alpha)\text{cos}(\alpha)

Propriétés  Formules de bissection

Pour tout réel

\alpha

\text{cos}\left(\dfrac{\alpha}2\right)=\pm\sqrt{\dfrac{1+\text{cos}(\alpha)}2}

\text{sin}\left(\dfrac{\alpha}2\right)=\pm\sqrt{\dfrac{1-\text{cos}(\alpha)}2}

Le symbole

\pm

signifie que le signe du résultat est à choisir au cas par cas selon l'intervalle auquel appartient le réel

\dfrac{\alpha}2

.

Exemple
On veut calculer

\text{cos}\left(\dfrac{\pi}8\right)

.
D'une part, on remarque

\dfrac{\pi}8=\dfrac 1 2 \times \dfrac{\pi}4

et, d'autre part, 

\dfrac{\pi}8\in \left[0;\dfrac{\pi}2\right]

. On en déduit

\text{cos}\left(\dfrac{\pi}8\right)>0

et, par la formule de bissection,

\text{cos}\left(\dfrac{\pi}8\right)=\sqrt{\dfrac{1+\text{cos}\left(\dfrac{\pi}4\right)}2}=\sqrt{\dfrac{1+\dfrac{\sqrt{2}}{2}}{2}}=\sqrt{\dfrac{2+\sqrt{2}}{4}}=\dfrac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}

.

Démonstration

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;•&nbsp;On utilise l'égalité

\alpha=2\times\dfrac{\alpha}2

et on écrit, pour tout réel

\alpha

,

\text{cos}(\alpha)=\text{cos}\left(2\times\dfrac{\alpha}2\right)=\text{cos}^2\left(\dfrac{\alpha}{2}\right)-\text{sin}^2\left(\dfrac{\alpha}{2}\right)

.Pour tout réel 

\alpha

,

\text{cos}^2\left(\dfrac{\alpha}{2}\right)+\text{sin}^2\left(\dfrac{\alpha}{2}\right)=1

, c'est à dire

\text{sin}^2\left(\dfrac{\alpha}{2}\right)=1-\text{cos}^2\left(\dfrac{\alpha}{2}\right)

et on en déduit

\text{cos}(\alpha)=\text{cos}^2\left(\dfrac{\alpha}{2}\right)-(1-\text{cos}^2\left(\dfrac{\alpha}{2}\right))

puis

\text{cos}(\alpha)=2\text{cos}^2\left(\dfrac{\alpha}{2}\right)-1

qui équivaut à

\text{cos}^2\left(\dfrac{\alpha}2\right)=\dfrac{1+\text{cos}(\alpha)}2

, d'où le résultat.

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;•&nbsp;Pour tout réel

\alpha

,

\text{sin}^2\left(\dfrac{\alpha}2\right)+\text{cos}^2\left(\dfrac{\alpha}2\right)=1

.On écrit

\text{sin}^2\left(\dfrac{\alpha}2\right)=1-\text{cos}^2\left(\dfrac{\alpha}2\right)=1-\dfrac{1+\text{cos}(\alpha)}{2}=\dfrac{1-\text{cos}(\alpha)}{2}

d'où le résultat.

L'objectif de cet exercice est de démontrer que

\text{cos}\left(\dfrac\pi 9\right)

est un nombre irrationnel à l'aide du résultat suivant (admis).Propriété (admise)
L'équation

8x^3-6x-1=0

n'admet pas de solutions rationnelles.

1.Écrire 

\text{cos}\left(\dfrac\pi 3\right)

en fonction de 

\text{cos}\left(\dfrac\pi 9\right)

. On pourra remarquer que 

\text{cos}\left(\dfrac \pi 3\right)=\text{cos}\left(\dfrac {2\pi} 9+\dfrac {\pi} 9 \right)

.
2.Démontrer que

4\text{cos}^3\left(\dfrac\pi 9\right)-3\text{cos}\left(\dfrac\pi 9\right)=\dfrac1 2

.
3.Conclure.

Formules d'addition et soustraction