Propriété Règle des signes
Le produit ou le quotient de deux nombres demême signedonne un résultatpositif.
Le produit ou le quotient de deux nombres designes différentsdonne un résultatnégatif.
Remarques
- La "règle des signes" ne s'utilise que pour le produit ou le quotient de nombres.
- Ne pas confondre : `-4-6=-4+(-6)=-10` et\(-4\times(-6)=24\).Dans le premier cas, on ajoute deux nombres relatifs. Dans le second cas, on les multiplie.
Exemples
- \(A_1=8\times3=24\)\(B_1=\dfrac{3}{4}\times\dfrac{5}{7}=\dfrac{15}{28} .\)Dans ces deux calculs, nous multiplions des nombres positifs. Donc les résultats sont positifs.
- \(A_2=-4\times5=-20\)\(B_2=\dfrac{1}{2}\times(-7)=-\dfrac{7}{2}\).Dans ces deux calculs, nous multiplions des nombres de signes différents. Donc les résultats sont négatifs.
- \(A_3=\dfrac{-6}{-2}=-6\div(- 2)=3\).Ici, on divise deux nombres négatifs donc de même signe. Le résultat est positif.
- \(A_4=\dfrac{\dfrac{3}{4}}{-\dfrac{5}{8}}=-\dfrac{3}{4}\times \dfrac{8}{5}=-\dfrac{3\times4\times2}{4\times5}=-\dfrac{6}{5}\).Dans ce calcul, nous divisons le nombre positif \(\dfrac{3}{4}\) par le nombre négatif \(-\dfrac{5}{8}\). Donc le résultat est négatif.
Valeur absolue d'un nombre
Définitions
- Soit\(x\) un réel.La valeur absolue de \(x\), notée \(|x|\), est sa distance à zéro. On a donc : \(|x|=d(x;0)\).
- \(\)Soit\(x\) et\(y\) deux réels.La distance entre ces deux nombres est le nombre \(|x-y|\), qui se lit "valeur absolue de\(x-y\)". On a donc :\(d(x;y)=|x-y|\).
Exemples
- Le nombre `9` se note aussi`+9`. Il est constitué du signe\(+\) et de sa distance à zéro, ou valeur absolue, qui est\(9\). On a donc :\(|+9|=9\).
- Le nombre `-15` est constitué du signe \(-\)et de sa distance à zéro, ou valeur absolue, qui est `15`. On a donc :\(|-15|=15\).
Remarque
Soit
un réel. La valeur absolue de
est un nombre positif.
Exemples
- \(\quad|6|=d(6;0)=6\).
- \(\quad |-3|=d(-3;0)=3\)
- \(\quad |6-8|=d(6;8)=2\) ou encore :\(|6-8|=|-2|=d(-2;0)=2\)
Propriété
Soit
un réel.
On a :
Exemples
- \(|-3,5|=-(-3,5)=3,5\ \text{car}-3,5<0\)
- \(|8,2|=8,2\quad \text{car}\quad 8,2>0\)
- Résolvons dans\(\mathbb{R}\) l'équation \(|x|=5\).\(|x|=5 \Leftrightarrow d(x;0)=5 \Leftrightarrow x=-5 \; \text{ou}\;x=5\). Donc \(\mathscr{S}=\{-5;5\}\).
- Résolvons dans\(\mathbb{R}\) l'équation \(|x-2|=3\).\(|x-2|=3 \Leftrightarrow d(x;2)=3 \Leftrightarrow x=2+3\;\text{ou}\;x=2-3 \Leftrightarrow x=5\;\text{ou}\;x=-1\).Donc \(\mathscr{S}=\{-1;5\}\).
- Résolvonsdans\(\mathbb{R}\) l'inéquation \(|x-4|\leq1\).Cette inéquation équivaut à \(d(x;4)\leq1\).On cherche donc l'intervalle ayant pour centre \(4\) et pour rayon \(1\). Les extrémités de l'intervalle font partie de l'ensemble des solutions puisque l'inégalité est "large".Donc \(\mathscr{S}=[3;5]\).
Racine carrée - Généralités
La racine carrée est introduite au collège, par exemple lors de l'application du théorème de Pythagore.
Définition
Soit
a
un réel positif.
La racine carrée de
est le nombre réel positif noté
tel que
.
Remarques
- Le signe \(\sqrt{.}\)s'appelle unradical.
- On ne peut déterminer la racine carrée que d'un nombre réel positif.
- Pour tout `a`réel positif, on a :\(\sqrt a\geq0\).
Exemples
, etc.
Les nombres
sont appelés des carrés parfaits.
Exemple
Pour quelles valeurs de
, l'expression
a t-elle un sens ?
L'expression sous le radical doit être positive ou nulle.
Donc
existe si et seulement si
ce qui équivaut à
.
L'expression
est définie pour
.
Racine carrée - Propriétés
Propriétés
Soit
deux nombres réels positifs. On a :
1.
2.
3.Si
et
sont strictement positifs, alors on a :
.
Exemples
- \(\sqrt 3 \times \sqrt2=\sqrt{3\times 2}=\sqrt 6\)
- \(\dfrac{\sqrt 5}{\sqrt 2}=\sqrt{\dfrac{5}{2}}\)
Remarques
- \(\sqrt{9+16}\neq\sqrt 9+\sqrt{25}\) comme l'indique la propriété précédente.En effet, \(\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5\) et \(\sqrt 9+\sqrt{16}=3+4=7\).Les résultats sont bien différents.
- \(\sqrt 3+\sqrt 2\) ne peut pas s'écrire autrement de manière exacte !
- \(\sqrt{3-2}=\sqrt 1=1\). On effectue d'abord l'opération sous le radical.
Exemples
1.Écrivons les nombres ci-dessous sous la forme
, où
sont des réels positifs et
est le plus petit possible.
- \(\sqrt{28}=\sqrt{4\times 7}=\sqrt{4}\times\sqrt{7}=2\sqrt 7\)
- \(\sqrt{27}=\sqrt{9\times3}=\sqrt{9}\times\sqrt 3=3\sqrt 3\)
2.Montrons que les nombres suivants sont des nombres rationnels.
- \(\dfrac{\sqrt{25}}{\sqrt 9}=\dfrac{5}{3}\)
- \(\sqrt{\dfrac{49}{81}}=\dfrac{\sqrt{49}}{\sqrt{81}}=\dfrac{7}{9}\)
Démonstrations
1.Soit
deux nombres réels positifs. D'après la "règle des signes", on a :
.
Donc
est bien défini et on a
.
De plus
.
On vient de montrer que les nombres positifs
et
ont des carrés égaux. Donc ils sont égaux.
2.La démonstration est analogue à celle de la question précédente.
3.Considérons un triangle
rectangle en
tel que
et
.
Alors, d'après le théorème de Pythagore, on a
.
Et donc
(puisque
est une longueur donc est positive).
D'après l'inégalité triangulaire, on a :
.
Soit
.
Propriété
Soit
un réel. On a :
Exemple
Puissance - Généralités
Définition
Soit
a\in \mathbb{R}
et
.
Alors
, où le réel
est répété
fois dans le produit.
se lit "
puissance
" ou encore "
exposant
".
Remarque
Soit
un réel. On a :
.
Exemples
- \(\quad 3^2=3\times 3=9\)
- \(\quad 2^4=2\times 2\times 2\times 2=16\)
- \(\quad 7^1=7\)
Définition
Soit
.
Alors, on a :
.
Exemple
Définition
Soit
et
.
Alors, on a
.
Exemples
- \(\quad 5^{-3}=\dfrac{1}{5^3}=\dfrac{1}{125}\)
- \(\quad 2^{-4}=\dfrac{1}{2^4}=\dfrac{1}{16}\)
- \(\quad \dfrac{1}{2^{-3}}=\dfrac{1}{\dfrac{1}{2^3}}=1\times \dfrac{2^3}{1}=2^3=8\)
Puissance - Propriétés
Propriété
Soit
,
et
. Alors, on a :
- \(a^n\times a^m=a^{n+m}\)
- \((a^n)^m=a^{n\times m}\)
- \(\dfrac{a^n}{a^m}=a^{n-m}\)
Exemples
- \(\quad 2^3\times2^5=2^{3+5}=2^8\)
- \(\quad 10^5 \times 10^6=10^{5+6}=10^{11}\)
- \(\quad 3^4=3^{3+1}=3^3\times 3^1=3^3\times 3\)
- \(\quad 5\times5^4\times 5^2=5^{1+4+2}=5^7\)
- \(\quad (2^2)^4=2^{2\times 4}=2^8\)
- \(\quad \dfrac{3}{3^5}=3^{1-5}=3^{-4}\)
Remarque
Comment écrire autrement ce calcul
3^20+3^21
?
3^20+3^21=3^20+3^{1+20}=3^20\times 1+3^1\times 3^20=3^20(1+3^1)=3^20\times 4
.
Propriété
Soit
;
et
. Alors, on a :
- \((a\times b)^n=a^n\times b^n\)
- \(\left(\dfrac{a}{b}\right)^n=\dfrac{a^n}{b^n}\)
Exemples
- \(\quad (3\times x)^2=3^2\times x^2=9x^2\) , où\(x\) est un réel non nul.
- \(\quad \left(\dfrac{2}{3}\right)^3=\dfrac{2^3}{3^3}=\dfrac{8}{27}\)
Propriété et définition
Tout nombre décimal non nul peut s'écrire sous la forme
où
et
.
C'est l'écriture scientifique de ce nombre.
Exemples
- \(\quad 3876,4189=3,8764189\times 10^3\)\(3,8764189\times 10^3\) est l'écriture scientifique du nombre\(3876,4189\).
- \(\quad -0,0006=-6\times10^{-4}\)\(-6\times10^{-4}\) est l'écriture scientifique du nombre \(-0,0006\).