Cas particulier de la suite (q^n)

Propriété

Soit\(q\)un réel :

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;•&nbsp;si

q\leqslant-1

, la suite 

(q^n)

n'admet pas de limite ;

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;•&nbsp;si

-1<q<1

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;•&nbsp;si

q=1

, la suite 

(q^n)

est constante de valeur 1 donc 

\lim\limits_{n \to +\infty}{q^n}=1

;

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;•&nbsp;si

q>1

,

\lim\limits_{n \to +\infty}{q^n}=+\infty

.

Démonstration pour le cas `q>1`

On rappelle l'inégalité de Bernoulli démontrée en exercice.

\forall a >0

,

\forall n \in \mathbb{N}

,

(1+a)^n \geqslant 1+na

.

Comme

q>1

, il existe un réel 

a>0

tel que

q=1+a

.

D'après l'inégalité de Bernoulli, 

\forall n \in \mathbb{N},\ q^n \geqslant 1+na

.

Comme

a>0

,

\lim\limits_{n \to +\infty}{na}=+\infty

 et donc par somme 

\lim\limits_{n \to +\infty}{1+na}=+\infty

.

D'après le théorème de comparaison,

\lim\limits_{n \to +\infty}{q^n}=+\infty

.

Énoncé 1

Déterminer

\lim\limits_{n \to +\infty}0,3^n

et

\lim\limits_{n \to +\infty}\pi^n

.

Solution

-1<0,3<1

 donc

\lim\limits_{n \to +\infty}0,3^n=0

\pi >1

 donc

\lim\limits_{n \to +\infty}\pi^n=+\infty

Énoncé 2

On considère la suite 

(u_n)

 définie, pour tout entier naturel

n

, par

u_n=125+300 \times 0,8^n

. Déterminer la limite de la suite

(u_n)

.

Solution

-1<0,8<1

 donc

\lim\limits_{n \to +\infty}0,8^n=0

Par produit,

\lim\limits_{n \to +\infty}300 \times 0,8^n=0

Enfin par somme,

\lim\limits_{n \to +\infty}u_n=125

Comportement à l'infini