Colinéarité de deux vecteurs et applications

Définition

Soit\(\overrightarrow{u}\)et\(\overrightarrow{v}\)deux vecteurs non nuls.

On dit que les vecteurs

\overrightarrow{u}

et

\overrightarrow{v}

sontcolinéairess'ils ont même direction.

On dit que levecteur nul est colinéaire à tout vecteur.

Propriété

Deux vecteurs

\overrightarrow{u}

et

\overrightarrow{v}

sontcolinéaires si et seulement si il existe un réel

k

tel que

\boxed{\overrightarrow{v} = k \times \overrightarrow{u}}

ou

\boxed{\overrightarrow{u} = k \times \overrightarrow{v}}

.

Le réel

k

 ainsi défini est alors appelécoefficient de colinéarité.

Exemple

Soit

\left( \overrightarrow{i} , \overrightarrow{j} \right)

 une base du plan. Soit

\overrightarrow{u} \begin{pmatrix} 4\\ -1\\\end{pmatrix}

et

\overrightarrow{v} \begin{pmatrix} -8\\ 2\\ \end{pmatrix}

deux vecteurs du plan.

On remarque que

\overrightarrow{v} = -2 \times \overrightarrow{u}

.
Donc les vecteurs

\overrightarrow{u}

et

\overrightarrow{v}

sont colinéaires (c'est-à-dire

\overrightarrow{u}

et

\overrightarrow{v}

ont la même direction).

Critère de colinéarité de deux vecteurs

Propriété

Soit

\left( \overrightarrow{i} , \overrightarrow{j} \right)

une base du plan. Soit

\overrightarrow{u} \begin{pmatrix} \color{green}{x}\\ \color{red}{y} \\ \end{pmatrix}

et

\overrightarrow{v} \begin{pmatrix} \color{blue}{x^{\prime}}\\ \color{orange}{y^{\prime}} \\ \end{pmatrix}

deux vecteurs.

Les vecteurs

\overrightarrow{u}

et

\overrightarrow{v}

sontcolinéairessi et seulement si

\boxed{\color{green}{x}\color{orange}{y^{\prime}} - \color{blue}{x^{\prime}}\color{red}{y} = 0}

.

Remarque

Ceci signifie que deux vecteurs sont colinéaires si et seulement si leurs coordonnées sont deux à deux proportionnelles.

Démonstration

Soit

\left( \overrightarrow{i} , \overrightarrow{j} \right)

une base du plan. Soit

\overrightarrow{u} \begin{pmatrix} \color{green}{x}\\ \color{red}{y} \\ \end{pmatrix}

et

\overrightarrow{v} \begin{pmatrix} \color{blue}{x^{\prime}}\\ \color{orange}{y^{\prime}} \\ \end{pmatrix}

deux vecteurs.

Supposons que les vecteurs\(\overrightarrow{u}\)et\(\overrightarrow{v}\)sont colinéaires.
Premier cas : les deux vecteurs sont non nuls.
Alors il existe un réel\(k\)tel que\(\overrightarrow{v} = k \times \overrightarrow{u}\)et on a donc\(\begin{cases}\color{blue}{x^{\prime}} = k \times \color{green}{x} \\\color{orange}{y^{\prime}} = k \times \color{red}{y} \\\end{cases}\).
Ainsi,\(\color{green}{x}\color{orange}{y^{\prime}} - \color{blue}{x^{\prime}}\color{red}{y} = \color{green}{x} \times k\color{red}{y} - k\color{green}{x} \times \color{red}{y} = 0\).
Deuxième cas : un des vecteurs est le vecteur nul,par exemple le vecteur \(\overrightarrow{u}\)est le vecteur nul.
Alors\(\color{green}{x}\color{orange}{y^{\prime}} - \color{blue}{x^{\prime}}\color{red}{y} = 0 \times \color{orange}{y^{\prime}} - \color{blue}{x^{\prime}} \times 0 = 0\).
Supposons que\(\color{green}{x}\color{orange}{y^{\prime}} - \color{blue}{x^{\prime}}\color{red}{y} = 0\).Si l'un des deux vecteurs est nul, par exemple le vecteur \(\overrightarrow{u}\), alors il est colinéaire à tout vecteur du plan, donc il est colinéaire au vecteur\(\overrightarrow{v}\).
Supposons maintenant qu'aucun des deux vecteur est le vecteur nul. On a en particulier\(\overrightarrow{u} \neq \overrightarrow{0}\)donc \(\color{green}{x} \neq 0\)ou\(\color{red}{y} \neq 0\). Supposons par exemple que\(\color{green}{x} \neq 0\)(sinon, on effectue le même raisonnement avec \(\color{red}{y} \neq 0\)).
On pose\(k = \dfrac{\color{blue}{x^{\prime}}}{\color{green}{x}}\)soit\(\color{blue}{x^{\prime}} = k \times \color{green}{x}\).
Puisque\(\color{green}{x}\color{orange}{y^{\prime}} - \color{blue}{x^{\prime}}\color{red}{y} = 0\)on a\(\color{green}{x}\color{orange}{y^{\prime}} = \color{blue}{x^{\prime}}\color{red}{y}\)et donc\(\color{green}{x}\color{orange}{y^{\prime}} = k \color{green}{x}\color{red}{y}\)soit\(\color{orange}{y^{\prime}} =k \times \color{red}{y}\)car\(\color{green}{x} \neq 0\).
Ainsi, on a\(\overrightarrow{v} = k \times \overrightarrow{u}\)et les vecteurs\(\overrightarrow{u}\)et\(\overrightarrow{v}\)sont colinéaires.

Déterminant de deux vecteurs

Définition
Soit

\left( \overrightarrow{i} , \overrightarrow{j} \right)

une base du plan. Soit

\overrightarrow{u} \begin{pmatrix} \color{green}{x}\\ \color{red}{y} \\ \end{pmatrix}

et

\overrightarrow{v} \begin{pmatrix} \color{blue}{x^{\prime}}\\ \color{orange}{y^{\prime}} \\ \end{pmatrix}

deux vecteurs.
Le réel

\color{green}{x}\color{orange}{y^{\prime}} - \color{blue}{x^{\prime}}\color{red}{y}

est appelédéterminantdes vecteurs

\overrightarrow{u}

et

\overrightarrow{v}

dans la base

\left( \overrightarrow{i} , \overrightarrow{j} \right)

.
On le note

\text{det}\left( \overrightarrow{u} , \overrightarrow{v} \right)

ou encore

\left\lvert \begin{array}{cc}\color{green}{x} & \color{blue}{x^{\prime}}\\\color{red}{y} & \color{orange}{y^{\prime}} \\\end{array} \right\rvert

.

Exemple
Dans une base

\left( \overrightarrow{i} , \overrightarrow{j} \right)

du plan, on considère les vecteurs

\overrightarrow{u} \begin{pmatrix} 16\\ -24\\ \end{pmatrix}

,

\overrightarrow{v} \begin{pmatrix} -12\\ 18\\ \end{pmatrix}

et

\overrightarrow{w} \begin{pmatrix} 5\\ -8\\ \end{pmatrix}

.

1.Les vecteurs  

\overrightarrow{u}

et

\overrightarrow{v}

sont-ils colinéaires ?
On a

\text{det}\left( \overrightarrow{u}, \overrightarrow{v} \right) = \left\lvert \begin{array}{cc} 16 & -12 \\ -24 & 18\\ \end{array} \right\rvert = 16 \times 18 - (-24)\times(-12) = 0.

Le déterminant des vecteurs

\overrightarrow{u}

et

\overrightarrow{v}

est égal à zéro. On écrit

\text{det}\left( \overrightarrow{u} , \overrightarrow{v} \right) =0

.
Donc les vecteurs

\overrightarrow{u}

et

\overrightarrow{v}

sont colinéaires. Ils ont la même direction.

2.Les vecteurs  

\overrightarrow{u}

et

\overrightarrow{w}

sont-ils colinéaires ?
On a

\text{det}\left( \overrightarrow{u}, \overrightarrow{w} \right) = \left\lvert \begin{array}{cc} 16 & 5 \\ -24 & -8\\ \end{array} \right\rvert = 16 \times (-8) - (-24)\times5 = -8

.
Le déterminant des vecteurs

\overrightarrow{u}

et

\overrightarrow{w}

n'est pas égal à zéro. On écrit

\text{det}\left( \overrightarrow{u} , \overrightarrow{w} \right) \neq 0

.
Les vecteurs

\overrightarrow{u}

et

\overrightarrow{w}

ne sont pas colinéaires. Ils n'ont pas la même direction.

Parallélisme de deux droites

Propriété

Soit

\text A

,

\text B

,

\text C

et

\text D

quatre points distincts.

Les droites

(\text{AB})

et

(\text{CD})

sontparallèlessi et seulement si les vecteurs

\overrightarrow{\text{AB}}

et

\overrightarrow{\text{CD}}

sontcolinéaires.

Exemple

Dans un repère

\left( \text{O} ~; \overrightarrow{i} , \overrightarrow{j} \right)

du plan, on considère

\text A \left(-4~;3 \right)

,

\text B \left(1~;-5 \right)

,

\text C \left(11~;-6 \right)

et

\text D \left(1~;10 \right)

.
On a

\overrightarrow{\text{AB}}\begin{pmatrix} 5\\ -8 \\ \end{pmatrix}

et

\overrightarrow{\text{CD}}\begin{pmatrix} -10\\ 16 \\ \end{pmatrix}

.
On calcule le déterminant de ces deux vecteurs :

\text{det}\left( \overrightarrow{\text{AB}} , \overrightarrow{\text{CD}}\right) = 5 \times 16 - (-10) \times (-8) = 0

.
Les vecteurs

\overrightarrow{\text{AB}}

et

\overrightarrow{\text{CD}}

sont colinéaires. Donc les droites

(\text{AB})

et

(\text{CD})

sont parallèles.

Alignement de trois points

Propriété

Soit

\text A

,

\text B

et

\text C

trois points distincts.
Les points

\text A

,

\text B

et

\text{C}

sontalignéssi et seulement si les vecteurs

\overrightarrow{\text{AB}}

et

\overrightarrow{\text{AC}}

sontcolinéaires.

Démonstration

Soit

\text A

,

\text B

et

\text C

trois points distincts.
On sait, d'après la propriété précédente, que les droites

(\text{AB})

et

(\text{AC})

sont parallèles si et seulement si les vecteurs

\overrightarrow{\text{AB}}

et

\overrightarrow{\text{CD}}

sont colinéaires.
Ceci peut aussi s'énoncer : les points

\text A

,

\text B

et

\text{C}

sont alignés si et seulement si les vecteurs

\overrightarrow{\text{AB}}

et

\overrightarrow{\text{AC}}

sont colinéaires.

Exemple
Dans un repère

\left( \text{O}~ ; \overrightarrow{i} , \overrightarrow{j} \right)

du plan, on considère

\text A \left(-4~;3 \right)

,

\text B \left(1~;-5 \right)

et

\text C \left(11~;-21 \right)

.

On a

\overrightarrow{\text{AB}}\begin{pmatrix} 5\\ -8 \\ \end{pmatrix}

et

\overrightarrow{\text{AC}}\begin{pmatrix} 15\\ -24 \\ \end{pmatrix}

.
On calcule le déterminant de ces deux vecteurs :

\text{det}\left( \overrightarrow{\text{AB}} , \overrightarrow{\text{AC}}\right) = 5 \times (-24) - 15 \times (-8) = 0

.
Les vecteurs

\overrightarrow{\text{AB}}

et

\overrightarrow{\text{AC}}

sont colinéaires. Donc les droites

(\text{AB})

et

(\text{AC})

sont parallèles (confondues), ce qui signifie que les

\text A

,

\text B

et

\text C

sontalignés.

Vecteurs colinéaires

Critère de colinéarité de deux vecteurs

Déterminant de deux vecteurs

Parallélisme de deux droites

Alignement de trois points