Colinéarité de deux vecteurs et applications

Le plan est rapporté à un repère 

\left(\text{O}~ ; \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j} \right)

.
Dans chacun des cas suivants, dire si les vecteurs 

\overrightarrow{u}

et

\overrightarrow{v}

 sont colinéaires.
1. 

\overrightarrow{u}\begin{pmatrix}-1 \\ 2\end{pmatrix}

et

\overrightarrow{v}\begin{pmatrix}-2 \\ 4\end{pmatrix}

.
2.

\overrightarrow{u}\begin{pmatrix}0 \\ 5\end{pmatrix}

et

\overrightarrow{v}\begin{pmatrix}5 \\ 0\end{pmatrix}

.
3.

\overrightarrow{u}(1~;-1)

et

\overrightarrow{v}(-3~;3)

.
4.

\overrightarrow{u}\begin{pmatrix}7 \\ -4\end{pmatrix}

et

\overrightarrow{v}\begin{pmatrix}21 \\ -1\end{pmatrix}

.
5.

\overrightarrow{u}\begin{pmatrix}3 \\ -2\end{pmatrix}

et

\overrightarrow{v}=\overrightarrow{0}

.
6.

\overrightarrow{u} \left(\dfrac{1}{2}~;-1\right)

et

\overrightarrow{v}\left(-3~;-6\right)

.

Énoncé
Le plan est rapporté à un repère 

\left(\text{O}~ ; \overrightarrow{i},\overrightarrow{j}\right)

.
On considère les points 

\text{A}(-2~;-1), \ \text{B}(4~;1), \ \text{C}(1~;-3)

et

\text{D}(10~;0)

.

1.Calculer les coordonnées des vecteurs 

\overrightarrow{\text{AB}}

et

\overrightarrow{\text{CD}}

.
2.Calculer le déterminant des vecteurs

\overrightarrow{\text{AB}}

et

\overrightarrow{\text{CD}}

.
3.Les droites 

(\text{AB})

et

(\text{CD})

 sont-elles parallèles ?

Solution

1.

\overrightarrow{\text{AB}} \begin{pmatrix}x_\text{B}-x_\text{A}\\y_\text{B}-y_\text{A}\end{pmatrix}

 soit 

\overrightarrow{\text{AB}} \begin{pmatrix} 4-(-2)\\ 1-(-1) \end{pmatrix}

 d'où 

\overrightarrow{\text{AB}} \begin{pmatrix} 6\\ 2 \end{pmatrix}

.

\overrightarrow{\text{CD}} \begin{pmatrix}x_\text{D}-x_\text{C}\\y_\text{D}-y_\text{C}\end{pmatrix}

 soit 

\overrightarrow{\text{CD}} \begin{pmatrix} 10-1\\ 0-(-3)\end{pmatrix}

 d'où 

\overrightarrow{\text{CD}} \begin{pmatrix} 9\\ 3 \end{pmatrix}

.
2.On a 

\overrightarrow{\text{AB}} \begin{pmatrix} 6\\ 2 \end{pmatrix}

et

\overrightarrow{\text{CD}} \begin{pmatrix} 9\\ 3 \end{pmatrix}

. Donc 

\det\left(\overrightarrow{\text{AB}},\overrightarrow{\text{CD}}\right)=6\times 3-9\times 2=18-18=0

.
3.D'après la question précédente, on a 

\det\left(\overrightarrow{\text{AB}},\overrightarrow{\text{CD}}\right)=0

.
Donc les vecteurs 

\overrightarrow{\text{AB}}

et

\overrightarrow{\text{CD}}

 sont colinéaires.
On en déduit que les droites

(\text{AB})

et

(\text{CD})

 sont parallèles.

Le plan est rapporté à un repère

\left(\text{O}~ ; \overrightarrow{i},\overrightarrow{j}\right)

.

Dans chacun des cas suivants, déterminer si les droites 

(\text{AB})

et

(\text{CD})

 sont parallèles.

1.

\text{A}( -2~;0), \text{B}( -1~;3), \ \text{C}( 2~;2)

et

\text{D}( 0~;-4)

.
2.

\text{A}( -1~;2), \text{B}( 3~;3), \ \text{C}( 2~;-1)

et

\text{D}( -4~;3)

.
3.

\text{A}( \sqrt{2}~;1), \text{B}( 1~;0), \ \text{C}(0~; -\sqrt{2})

et

\text{D}( 1~;1)

.
4.

\text{A}\left( -\dfrac{1}{3}~;-1\right), \text{B}\left( 0~; \dfrac{1}{2}\right), \ \text{C}( 0~;2)

et

\text{D}\left( \dfrac{1}{6~};1\right)

.

Le plan est rapporté à un repère

\left(\text{O}~ ; \overrightarrow{i},\overrightarrow{j}\right)

.
Dans chacun des cas suivants, déterminer si les points 

\text{A}, \text{B}

et

\text{C}

 sont alignés.

1.

\text{A}(-2~;-1), \text{B}(-1~;3)

et

\text{C}(6~;31)

.
2.

\text{A}(2~;1), \text{B}(-2~;-2)

et

\text{C}\left(5~;\dfrac{13}{4}\right)

.
3.

\text{A}(3~;-4), \text{B}(7~;3)

et

\text{C}(12~;11)

.

Vecteurs colinéaires ?