Composée de l'exponentielle et d'une fonction affine

Propriété

Soit

a,b

deux réels.
La fonction

f

définie sur

\mathbb R

par

f(x)=\text e^{ax+b}

est dérivable sur

\mathbb R

et, pour tout

x

appartenant à 

\mathbb R

,

f'(x)=a\text e^{ax+b}

.

Idée de la démonstration

Cette propriété est une conséquence directe du théorème de dérivation des fonctions dérivables composées avec une fonction affine vu dans le chapitre « Nombre dérivé ».

Variations de la composée de l'exponentielle et d'une fonction affine

Courbe représentative

Dans un repère orthogonal, on s'intéresse à la fonction 

f

définie sur 

\mathbb{R}

par

f(x) = \text e^{ax+b}

.
Avec le fichier de géométrie dynamique suivant, on peut étudier l'influence des paramètres 

a

et

b

 sur la courbe représentative de 

f

en faisant varier leurs valeurs à l'aide des curseurs.

Propriétés

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;•&nbsp;La fonction

f

est strictement croissante sur

\mathbb R

lorsque

a>0

.

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;•&nbsp;La fonction

f

est strictement décroissante sur

\mathbb R

lorsque

a<0

.

Démonstration

La fonction

f

est dérivable sur 

\mathbb R

et, pour tout

x

réel,

f'(x)=a \text e^{ax+b}

.
Soit

y=ax+b

, on a

\text e^y>0

, d'après les propriétés de la fonction exponentielle. Ainsi, le signe de

f'(x)

est le signe de

a

. Le théorème donnant le lien entre le signe de la dérivée sur un intervalle et les variations de la fonction permet de conclure.

Remarque

Lorsque

a=0

,pour tout 

x

dans 

\mathbb R

,

f(x)= \text e^b

. La fonction

f

est constante et sa dérivée est nulle.

Exemples

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;•&nbsp;On étudie les variations de la fonction

g

définie sur

\mathbb R

par

g(x)= \text e^{2x-3}

.

g

est dérivable sur

\mathbb R

et, pour tout réel

x

,

g'(x)=2 \text e^{2x-3}>0

. La fonction

g

est strictement croissante sur\(\mathbb R\).

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;•&nbsp;On étudie les variations de la fonction

h

définie sur

\mathbb R

par

h(x)= \text e^{-x+4}

.

h

est dérivable sur

\mathbb R

et, pour tout réel

x

,

h'(x)=- \text e^{-x+4}<0

. La fonction

h

est strictement décroissantesur\(\mathbb R\).