Dans un repère du plan

Définition

Trois points non alignés

\text{O}, \text{I}

et

\text{J}

du plan définissent un repère du plan.
On note ce repère

(\text{O};\color{blue}{\text{I}},\color{red}{\text{J}})

.
Le point 

\text{O}

est appelé l’origine du repère.
L’axe

(\text{O}\color{blue}{\text{I}})

 est l’axe des abscisses. La distance 

\text{OI}

 définie l'unité soit 

\text{OI}=1

.
L’axe

(\text{O}\color{red}{\text{J}})

 est l’axe des ordonnées. La distance 

\text{OJ}

 définie l'unité soit 

\text{OJ}=1

.

Lorsque lesaxesdu repère sontperpendiculaires, c’est-à-dire lorsque le triangle

\text{OIJ}

 est rectangle en

\text{O}

, on dit que le repère estorthogonal.
Si,de plus, le triangle

\text{OIJ}

 est rectangle et isocèle en

\text{O}

, le repère est ditorthonormé(ou orthonormal).

Propriété (admise)

Le plan est muni d'un repère 

(\text{O};\text{I},\text{J})

.
Tout point\(\text{M}\)du plan est repéré par ununiquecouple

(x_\text{M};y_\text{M})

 de nombres réels appelés les coordonnées du point\(\text{M}\).
On note

\text{M}(x_\text{M};y_\text{M})

.

x_\text{M}

 est l’abscisse du point\(\text{M}\)et 

y_\text{M}

 est l’ordonnée du point\(\text{M}\).

Exemple

On considère le repère 

(\text{O} ;\text{I},\text{J})

 ci-dessous.
On place les points 

\text{A}, \text{B}, \text{C}, \text{D}

et

\text{E}

 dans ce repère.

Les coordonnées de 

\text{A}

 sont 

(1{,}5~ ; 4)

.
Les coordonnées de 

\text{B}

 sont 

(-2~;3)

.
Les coordonnées de 

\text{C}

 sont 

(-1~ ; -2)

.
Les coordonnées de 

\text{D}

 sont 

(3~; 0)

.
Les coordonnées de 

\text{E}

 sont 

(0 ; -3)

.

Propriété (admise)

Soit 

(\text{O}~ ; \text{I} ~, \text{J})

 un repère du plan.
On considère un point 

\text{A}

 de coordonnées 

(x_\text{A} ; y_\text{A})

 et un point 

\text{B}

 de coordonnées 

(x_\text{B} ; y_\text{B})

.
Soit

\text{M}

 le milieu du segment

[\text{AB}]

.

Alors les coordonnées de 

\text{M}

 sont données par :

\boxed{x_\text{M}=\dfrac{x_\text{A}+x_\text{B}}{2} \text{ et } y_\text{M}=\dfrac{y_\text{A}+y_\text{B}}{2}}

.

Exemple

Le plan est muni d'un repère. On donne 

\text{A}(-4 ~; 1)

et

\text{B}(2~ ; 5)

.
Les coordonnées de 

\text{M}

, milieu de 

[\text{AB}]

, sont :

x_\text{M}=\dfrac{x_\text{A}+x_\text{B}}{2}

et

y_\text{M}=\dfrac{y_\text{A}+y_\text{B}}{2}

x_\text{M}=\dfrac{-4+2}{2}

et

y_\text{M}=\dfrac{1+5}{2}

soit 

x_\text{M}=-1

et

y_\text{M}=3

.
Les coordonnées de 

\text{M}

 sont 

(-1~;3)

.

Propriété

Soit 

(\text{O}~ ; \text{I}~, \text{J})

 un repèreorthonormédu plan.
On considère un point 

\text{A}

 de coordonnées 

(x_\text{A} ; y_\text{A})

 et un point 

\text{B}

 de coordonnées 

(x_\text{B} ; y_\text{B})

.

La distance entre les points 

\text{A}

et

\text{B}

 est donnée par 

\boxed{\text{AB}=\sqrt{(x_\text{B}-x_\text{A})^2+(y_\text{B}-y_\text{A})^2}}

.

Démonstration

Considérons le cas où 

x_\text{A}<x_\text{B}

et

y_\text{A}<y_\text{B}

 (la démonstration est analogue dans les autres cas).
Traçons la parallèle à l'axe des abscisses passant par 

\text{B}

 (en bleu) et la parallèle à l'axe des ordonnées passant par 

\text{A}

 (en rouge). On note 

\text{C}

 le point d'intersection de ces deux droites.

Les axes du repère étant perpendiculaires, on en déduit que le triangle 

\text{ABC}

 est un triangle rectangle en 

\text{C}

.
On peut donc appliquer le théorème de Pythagore. 

\text{AB}^2 =\text{AC}^2+\text{BC}^2

.
Mais 

x_\text{C}=x_\text{A}

 donc 

\text{BC}=x_\text{B}-x_\text{A}

 et de même 

y_\text{C}=y_\text{B}

 donc 

\text{AC}=y_\text{B}-y_\text{A}

.
En remplaçant dans l'égalité de Pythagore, on a donc 

\text{AB}^2 =(x_\text{B}-x_\text{A})^2+(y_\text{B}-y_\text{A})^2

.
Et 

(x_\text{B}-x_\text{A})^2+(y_\text{B}-y_\text{A})^2>0

 donc 

\text{AB}=\sqrt{(x_\text{B}-x_\text{A})^2+(y_\text{B}-y_\text{A})^2}

.

Remarque

Une distance est un nombre positif !

Exemple

Le plan est muni d'un repère orthonormé.
Considérons les points 

\text{A}(-2~;5)

et

\text{B}(1~;-1)

.
La distance 

\text{AB}

 est : 

\begin{array}{l}\text{AB}\ =\sqrt{(x_\text{B}-x_\text{A})^2+(y_\text{B}-y_\text{A})^2}\\\qquad =\sqrt{(1-(-2))^2+(-1-5)^2}\\\qquad =\sqrt{3^2+(-6)^2}\\\qquad =\sqrt{9+36}\\\qquad =\sqrt{45}\\\qquad =\sqrt{9\times 5}\\\qquad =3\sqrt{ 5}\\\end{array}

d'où 

\text{AB}=3\sqrt{ 5}

.

Remarque

La distance entre les points 

\text{A}

et

\text{B}

 peu aussi s'écrire : 

\text{AB}=\sqrt{(x_\text{A}-x_\text{B})^2+(y_\text{A}-y_\text{B})^2}

.
En effet :
Un nombre réel 

x

 et son opposé 

-x

 ont le même carré, c'est-à-dire que l'on a 

(-x)^2=x^2

.
Donc 

(x_\text{B}-x_\text{A})^2 = \left(-(x_\text{B}-x_\text{A})\right)^2=(x_\text{A}-x_\text{B})^2

, 
de même 

(y_\text{B}-y_\text{A})^2 =(y_\text{A}-y_\text{B})^2

.

Repère du plan, coordonnées d'un point dans le plan