Notations
...\color{red}\in...
ce symbole signifie "appartient à".
ce symbole signifie "n'appartient pas à".
On utilise ces symboles pour indiquer si un élément appartient ou non à un ensemble.
Remarque
En géométrie, on utilise par exemple ces symboles pour indiquer si un point appartient ou non à une droite.
signifie que le point
appartient à la droite
d
.
signifie que le point
n'appartient pas à la droite
d
.
Notation
...\color{red}\subset...
ce symbole signifie "est inclus dans".
ce symbole signifie "n'est pas inclus dans".
On utilise ces symboles pour indiquer si un ensemble appartient ou non à un autre ensemble.
Nombres entiers
Définition
L'ensemble des nombres entiers naturels, noté
, est l'ensemble constitué desnombres entiers positifs
On note :
.
Remarques
- Un nombre positif peut être précédé d'un signe \(+\), par exemple \(+3\). En écriture simplifiée, on ne notera que \(3\).
- L'ensemble\(\mathbb{N}\) est infini.
- L'ensemble des nombres entiers naturels non nuls se note \(\mathbb{N}^\color{red}*\).L'étoile mise "en exposant" signifie qu'on exclut le nombre zéro de l'ensemble.
Définition
L'ensemble des nombres entiers relatifs, noté
, est l'ensemble constitué desnombres entiers positifs et négatifs.
On note :
.
Remarques
- On visualise une symétrie dans l'ensemble\(\mathbb{Z}\). Dans cet ensemble, chaque nombre a son symétrique par rapport à \(0\).
- \(\mathbb{Z}^*\)est l'ensemble des nombres entiers relatifs privé de zéro.
Propriété
L'ensemble des nombres entiers naturels est inclus dans l'ensemble des nombres entiers relatifs. On écrit :
.
Exemples
- \(-6\in\mathbb{Z}\) mais \(-6\notin\mathbb{N}\). Donc le plus petit ensemble de nombres dans lequel se trouve \(-6\) est \(\mathbb{Z}\).
- \(3\in\mathbb{N}\) et \(3\in\mathbb{Z}\) . Donc le plus petit ensemble de nombres dans lequel se trouve le nombre \(3\) est \(\mathbb{N}\).
Nombres décimaux
Définition
Un nombredécimalest un nombre pouvant s'écrire sous la forme
, où
a\in\mathbb{Z}
et
.
Autrement dit : un nombre décimal est un nombre qui peut s'écrire sous la forme d'une fraction dont le dénominateur est une puissance de
.
Exemples
sont des nombres décimaux.
Définition
L'ensemble des nombres décimaux se note
.
On a donc :
.
Remarque
Un nombre entier est aussi un nombre décimal.
Par exemple,
.
Propriété
L'ensemble des nombres entiers relatifs est inclus dans l'ensemble des nombres décimaux.
On a donc :
et, finalement,
.
L'ensemble
est un sous-ensemble de l'ensemble
qui lui même est un sous-ensemble de l'ensemble
.
Nombres rationnels
Définitions
Un nombre rationnel est un nombre s'écrivant sous la forme
avec
et
.
L'ensemble des nombres rationnels se note
.
On a alors :
.
Propriété
L'ensemble des nombres décimaux est inclus dans l'ensemble des nombres rationnels. On a donc :
.
Comme l'ensemble des nombres décimaux contient l'ensemble des nombres entiers relatifs qui contient lui même l'ensemble des nombres entiers naturels, on obtient :
.
Exemples
- \(\dfrac{2}{5}\in\mathbb{Q}\) or \(\dfrac{2}{5}=0,4=\dfrac{4}{10}\in\mathbb{D}\) mais \(\dfrac{2}{5}\notin\mathbb{Z}\) .Donc le plus petit ensemble dans lequel se trouve le nombre \(\dfrac{2}{5}\) est l'ensemble \(\mathbb{D}\).
- \(\dfrac{2}{3}\in\mathbb{Q}\) mais \(\dfrac{2}{3}\notin\mathbb{D}\).Donc le plus petit ensemble dans lequel se trouve le nombre \(\dfrac{2}{3}\) est \(\mathbb{Q}\).
Nombres réels
Définition
Les nombres réels sont les abscisses des points d'une droite graduée.
L'ensemble des nombres réels se note
.
Sur cette droite graduée, l'abscisse du point
est
, celle du point
est
.
L'abscisse du point
est
, celle de
est
et celle de
est
.
Propriété
L'ensemble des nombres réels contient tous les nombres rationnels. On a donc : \(\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}\).
Finalement, on a :
.
En résumé
Exemples
- \(\sqrt2\in\mathbb{R}\) et\(\sqrt2\notin\mathbb{Q}\).Le plus petit ensemble dans lequel se trouve \(\sqrt2\) est \(\mathbb{R}\).
- \(-56,8\in\mathbb{R}\) et\(-56,8=\dfrac{-568}{10}\in\mathbb{D}\).
- \(-56,8\) n'est pas un nombre entier donc le plus petit ensemble de nombres dans lequel se trouve \(-56,8\) est \(\mathbb{D}\).