Propriété
L'espace est muni d'un repère orthonormé. Un plan
de vecteur normal\(\overrightarrow{n} \begin{pmatrix} a\\b\\c\\ \end{pmatrix}\)admet une équation cartésienne de la forme
avec
.
Réciproquement, si
,
et
sont non tous nuls, l'ensemble des points
tels que
, avec
, est un plan de vecteur normal\(\overrightarrow{n} \begin{pmatrix} a\\b\\c\\ \end{pmatrix}\).
Remarque
Un plan admet une infinité d'équations cartésiennes. Par exemple, si on considère le plan
d'équation cartésienne
, ce plan admet comme autre équation cartésienne :
.
Démonstration
Soit
un point du plan
de vecteur normal\(\overrightarrow{n} \begin{pmatrix} a\\b\\c\\ \end{pmatrix}\). Tout point
du plan vérifie
, ce qui équivaut à :
.
Soit
.
En posant
, on obtient bien une équation de la forme
.
Réciproquement, on considère l'ensemble des points
vérifiant\(ax+by+cz+d=0\)avec
,
et
non tous nuls. On peut supposer par exemple que
est non nul.
Soit
. On a
.
Les coordonnées du point
vérifient donc l'équation.
Soit
un point tel que
.
On a :
.
Soit\(\overrightarrow{n} \begin{pmatrix} a\\b\\c\\ \end{pmatrix}\).
On a :
.
appartient donc au plan \(P\)passant par
et de vecteur normal
.
Exemple
Dans un repère orthonormé de l'espace, on donne le plan
passant par le point
et de vecteur normal \(\overrightarrow{n}\begin{pmatrix} 3\\-3\\1\\ \end{pmatrix}\).
Soit
un point de l'espace. Dire que
signifie que
.
On a :
.
L'égalité précédente se traduit pas
,
soit
qui est une équation cartésienne du plan
.
☛ Déterminer une équation cartésienne d'un plan
Énoncé
Dans un repère orthonormé de l'espace, déterminer une équation cartésienne du plan
passant par le point
et de vecteur normal \(\overrightarrow{n} \begin{pmatrix} 4\\5\\6\\ \end{pmatrix}\).
Solution
Première méthode
a pour vecteur normal \(\overrightarrow{n} \begin{pmatrix} 4\\5\\6\\ \end{pmatrix}\), donc une équation cartésienne de
est de la forme
.
donc
.
Conclusion:
a pour équation cartésienne
.
Deuxième méthode
.
☛ Déterminer si un point appartient à un plan
Énoncé
L'espace est muni d'un repère orthonormé.
Soit
un plan dont une équation cartésienne est
.
1.Déterminer les coordonnées d'un vecteur normal
au plan
.
2. Le point
appartient-il au plan
? Le point
appartient-il au plan
?
Solution
1.
est un vecteur normal
au plan
.
2.
. Donc
.
.Donc
.
☛ Déterminer si deux plans sont parallèles
Énoncé
L'espace est muni d'un repère orthonormé.
1.Les plans
d'équation cartésienne
et
d'équation cartésienne
sont-ils parallèles ?
2.Les plans
d'équation cartésienne
et
d'équation cartésienne
sont-ils parallèles ?
Solution1. Soit\(\overrightarrow{n_1}\begin{pmatrix} -3\\6\\-9\\ \end{pmatrix}\) un vecteur normal à
et\(\overrightarrow{n_2} \begin{pmatrix} 1\\-2\\3\\ \end{pmatrix}\) un vecteur normal à
.
On a
.
Donc les vecteurs normaux aux plans sont colinéaires. Les deux plans sont parallèles.
2. Soit
un vecteur normal à
et \(\overrightarrow{n_2}\begin{pmatrix} 2\\-1\\3\\ \end{pmatrix}\)un vecteur normal à
.
Les produits en croix
et
sont différents. Donc les vecteurs normaux aux plans ne sont pas colinéaires. Les deux plans ne sont pas parallèles, ils sont sécants. On peut déterminer la droite d'intersection des deux plans en résolvant le système :
.
Remarque
L'espace est muni d'un repère orthonormé. Deux plans
et
sont perpendiculaires lorsque les vecteurs normaux respectifs
et
sont orthogonaux.
☛ Déterminer la droite d'intersection de deux plans sécants
Énoncé
Dans un repère orthonormé, les plans
et
ont pour équations respectives
et
.
1.Démontrer que les plans
et
sont sécants.
2.Déterminer une représentation paramétrique de leur droite d'intersection
.
Solution
1. Soit \(\overrightarrow{n_1}\begin{pmatrix} -1\\2\\1\\ \end{pmatrix}\) un vecteur normal à
et
un vecteur normal à
.
Les produits en croix
et
sont différents. Donc les vecteurs normaux ne sont pas colinéaires. Donc les plans
et
sont sécants.
2. Un point
appartient à la droite d'intersection des deux plans lorsque ses coordonnées vérifient le système :
qui équivaut à
soit
(méthode par combinaison).
En ajoutant membre à membre les deux équations, on obtient :
.
Puis on remplace cette expression dans la première équation :
.
Les coordonnées du point
s'expriment ainsi en fonction de
qu'on peut poser comme paramètre, en l'appelant
.
Une représentation paramétrique de la droite
est donc :
.
☛ Étudier l'intersection d'une droite et d'un plan
Énoncé
Dans un repère de l'espace, soit
la droite de représentation paramétrique
.
Soit
le plan d'équation cartésienne
.
1.Justifier que
et
sont sécants.
2.Déterminer les coordonnées du point
d'intersection de
et de
.
Solution
1.
est dirigée par
;
a pour vecteur normal
.
, donc
et
sont sécants.
2. On cherche
tel que
.
Alors
.
D'où
.
Conclusion:
.
Équations de plans particuliers
Propriété
Dans un repère
,
• le plan
a pour équation
;
• le plan
a pour équation
;
• le plan
a pour équation
.
De plus,
• un plan d'équation
, avec
, est un plan parallèle au plan
;
• un plan d'équation
, avec
, est un plan parallèle au plan
;
• un plan d'équation
, avec
, est un plan parallèle au plan
.
☛ Déterminer le point d'intersection d'une droite et d'un plan
Énoncé
Dans un repère de l'espace, soit
la droite passant par les points
et
.
1.Donner une représentation paramétrique de
.
2.En déduire les points d'intersection de la droite
avec les plans
,
et
.
Solution
1.La droite
passe par
et est dirigée par
.
Alors une représentation paramétrique de
est :
.
2. Un point du plan
a pour coordonnées
.
On résout donc
.
Donc le point d'intersection de la droite avec ce plan a pour coordonnées
.
Un point du plan
a pour coordonnées
.
On résout donc
.
Donc le point d'intersection de la droite avec ce plan a pour coordonnées
.
Un point du plan
a pour coordonnées
.
On résout donc
.
Donc le point d'intersection de la droite avec ce plan a pour coordonnées
. C'est le point
.
☛ Déterminer le projeté orthogonal d'un point sur un plan
Énoncé
On se place dans un repère orthonormé
.
Soit
un plan d'équation cartésienne
. Soit
un point.
1.Justifier que
.
2. Déterminer une représentation paramétrique de la droite
passant par
et orthogonale au plan
.
3.En déduire les coordonnées du point
, projeté orthogonal du point
sur le plan
.
Solution
1.
. Donc
.
2.La droite
passe par
et est dirigée par
,vecteur normal au plan\(P\).. Alors, une représentation paramétrique de
est :
.
3. On cherche
tel que
,
.
On cherche
tel que
.
Alors
.
Conclusion:
.
Distance d'un point à un plan
Propriété
On se place dans un repère orthonormé
.
Soit
un plan d'équation cartésienne
et
un point n'appartenant pas au plan
. Alors la distance entre le point
et le plan
est donnée par :
.
Démonstration
On cherche à exprimer la distance
, où
est le projeté orthogonal de
sur
.
donc ses coordonnées vérifient la relation
.
a pour vecteur normal \(\overrightarrow{n} \begin{pmatrix} a\\b\\c\\ \end{pmatrix}\).
Or
est colinéaire à
.
Donc
. Autrement dit,
(*).
Or
.
D'où
car
. (**)
Enfin,
.
Donc, en utilisant (*) et (**), on a :
.
Comme
est non nul, alors sa norme n'est pas nulle non plus, on peut donc diviser par celle-ci. D'où le résultat :
.
Exemple
On se place dans un repère orthonormé
. Soit
un plan d'équation cartésienne
. Soit
un point.
Alors on a :
.
Remarque
On peut redémontrer ce résultat en calculant la norme du vecteur
, où
est le projeté orthogonal de
sur
.
On démontre que
a pour coordonnées :
.
Alors \(\overrightarrow{\text A\text H} \begin{pmatrix} -\dfrac{11}{26}\\ -\dfrac{33}{26}\\ -\dfrac{22}{13}\end{pmatrix}\).
D'où
.