Le plan est muni d'un repère orthonormé
.
Propriété
Soit
deux réels tels que
.
Soit
une droite dont un vecteur directeur est
.
Un point
du plan appartient à la droite
si et seulement si ses coordonnées
vérifient une équation de la forme
, où
.
Démonstration
Soit
deux réels tels que
.
Soit
une droite dont un vecteur directeur est
.
Soit
un point de la droite
et
un point du plan.
On considère les vecteur
et
. Ainsi, on a :
Le point
appartient à la droite
si et seulement si les vecteurs
et
sont colinéaires.
Autrement dit : le point
appartient à la droite
si et seulement si
.
On pose
.
Donc le point
appartient à la droite
si et seulement si ses coordonnées
vérifient l'équation
.
Équation cartésienne d'une droite
Le plan est muni d'un repère orthonormé
.
Définition
Soit
des réels tels que
.
On considère la droite
qui est l'ensemble des points
du plan tels que
L'équation
est uneéquation cartésiennede la droite
.
Remarque
Toute droite du plan possède une infinité d'équations cartésiennes.
Exemple
Soit
la droite d'équation cartésienne
.
Les points
et
appartiennent-ils à la droite
?
- On a\(2\times(\color{green}{-3}) + 5 \times \color{red}{1} + 1 = 0\). Donc le point\(\text A\) appartient à la droite\(d\).
- On a\(2 \times \color{green}{4} + 5 \times (\color{red}{-3}) + 1 \neq 0\). Donc le point\(\text B\) n'appartient pas à la droite\(d\).
Propriété
Soit
des réels tels que
.
Soit
la droite d'équation cartésienne
.
Un vecteur directeur de la droite
est
.
Exemple
Un vecteur directeur de la droite
d'équation
est
.
Remarque
- Si\(a = 0\), alors\(\overrightarrow{u} \begin{pmatrix} -b \\ 0 \\ \end{pmatrix}\) est un vecteur directeur de la droite\(d\).La droite \(d\)est donc parallèle à l'axe des abscisses.Par exemple, la droite d'équation cartésienne\(5y+1=0\) est parallèle à l'axe des abscisses.
- Si\(b = 0\), alors\(\overrightarrow{u} \begin{pmatrix} 0 \\ a \\ \end{pmatrix}\) est un vecteur directeur de la droite\(d\).La droite \(d\)est donc parallèle à l'axe des ordonnées.Par exemple, la droite d'équation cartésienne\(2x+1=0\) est parallèle à l'axe des ordonnées.
✎☛ Déterminer une équation cartésienne à l'aide d'un déterminant
Le plan est muni d'un repère orthonormé
.
Méthodeen utilisant le déterminant
Soit
un point et
un vecteur non nul.
On considère la droite
passant par le point
et de vecteur directeur
.
Dire qu'un point
appartient à la droite
revient à dire que les vecteurs
et
sont colinéaires, c'est-à-dire que
.
Énoncé
Dans un repère orthonormé du plan, on considère la droite
passant par le point
et de vecteur directeur
. Déterminer une équation cartésienne de la droite
.
Solution
Un point
appartient à la droite
si et seulement si
.
Ainsi, on a
soit
ce qui équivaut à
.
En développant, on obtient l'équation
.
Donc une équation cartésienne de la droite
est
.
✎☛ Déterminer une équation de droite par identification
Le plan est muni d'un repère orthonormé
.
Méthodeen identifiant les coefficients a et b
Soit
un point et
un vecteur non nul.
On considère la droite
passant par le point
et de vecteur directeur
.
La droite
admet une équation cartésienne de la forme
.
On commence par identifier les valeurs des coefficients
et
à l'aide des coordonnées du vecteur directeur
.
Puis, on trouve la valeur du coefficient
en résolvant l'équation après avoir remplacé les variables
et
par les coordonnées du point
.
Énoncé
Dans un repère orthonormé du plan, on considère la droite
passant par le point
et de vecteur directeur
. Déterminer une équation cartésienne de la droite
.
Solution
Une équation cartésienne de la droite
est
avec
tels que
.
On sait que le vecteur de coordonnées
est un vecteur directeur de
.
Puisque
est un vecteur directeur de la droite
, on peut poser
et
.
Une équation cartésienne de la droite
est donc :
.
On sait que
, ce qui revient à dire que
.
Ainsi, on a
après résolution.
Donc une équation cartésienne de la droite
est
.