Équation cartésienne d'une droite

Déterminer une équation cartésienne de chacune des droites représentées dans le repère orthonormé

\left(\text O; \overrightarrow{i}; \overrightarrow{j} \right)

 ci-dessous.

* Construire, représenter une droite à partir d'une équation cartésienne

Dans un repère orthonormé

\left(\text O; \overrightarrow{i}; \overrightarrow{j} \right)

, représenter les droites suivantes dont on connaît une équation cartésienne. 

1.

d_1 : x-y+3=0

2.

d_2 : 2x-y+5 = 0

3.

d_3 : 3x+3y-6=0

4.

d_4 : 5y-20=0

5.

d_5 : -4x-16=0

☛ ** Équation cartésienne à partir d'un point et d'un vecteur

Énoncé
Dans un repère orthonormé

\left(\text{O}; \overrightarrow{i}; \overrightarrow{j} \right)

, on considère une droite

d

 d'équation

2x-5y-3=0.

Déterminer une équation de la droite

d^{\prime}

 passant par le point

\text A(-6;4)

 et parallèle à la droite

d

.

Solution

D'après les coefficients de l'équation cartésienne de la droite

d

, on peut affirmer que le vecteur

\overrightarrow{u} \begin{pmatrix} 5\\ 2\\ \end{pmatrix}

 est un vecteur directeur de cette droite.
Les droites

d

et

d^{\prime}

 étant parallèles, le vecteur

\overrightarrow{u}

 est également un vecteur directeur de la droite

d^{\prime}

.
Soit

\text M(x ; y)

 un point appartenant à la droite

d^{\prime}

. Alors le vecteur

\overrightarrow{\text{AM}} \begin{pmatrix} x +6\\ y - 4\\ \end{pmatrix}

 est aussi un vecteur directeur de la droite

d^{\prime}

.
Les vecteurs

\overrightarrow{\text{AM}}

et

\overrightarrow{u}

 sont donc colinéaires, ce qui se traduit par :

\left\lvert \begin{array}{cc} x+6 & 5 \\ y-4 & 2 \\ \end{array} \right\rvert = 0

 soit

(x+6) \times 2 - (y-4) \times 5 = 0

 soit

{2x-5y+32=0}

.

Une équation cartésienne de la droite

d^{\prime}

 est donc

{2x-5y+32=0}

.

** À la recherche de l'équation cartésienne

Dans chacun des cas suivants, on considère une droite dont on donne un vecteur directeur et un point par lequel elle passe. Déterminer une équation cartésienne de la droite.

1.La droite

d_1

 dirigée par le vecteur

\overrightarrow{u} \begin{pmatrix} 1\\ -3\\ \end{pmatrix}

 et passant par le point

\text A (-2;5)

.

2.La droite

d_2

 dirigée par le vecteur

\overrightarrow{v} \begin{pmatrix} -2\\ 7\\ \end{pmatrix}

 et passant par le point

\text B (3;1)

.

3.La droite

d_3

 dirigée par le vecteur

\overrightarrow{w} \begin{pmatrix} \dfrac{2}{3}\\ -\dfrac{5}{3}\\ \end{pmatrix}

 et passant par le point

\text C (0;-4)

.

4.La droite

d_4

 dirigée par le vecteur

\overrightarrow{t} \begin{pmatrix} \dfrac{5}{2}\\ \dfrac{3}{4}\\ \end{pmatrix}

 et passant par le point

\text D (7;0)

.

5.La droite

d_5

 dirigée par le vecteur

\overrightarrow{z} \begin{pmatrix} 0\\ -4\\ \end{pmatrix}

 et passant par le point

\text E (-6;3)

.

** Équation cartésienne à partir de deux points

Dans chacun des cas suivants, on considère deux points 

\text A

et

\text B

.
Déterminer une équation cartésienne de la droite

(\text{AB})

.

1.

\text A (1;2)

et

\text B (4;4)

2.

\text A (-3;-1)

et

\text B (2;3)

3.

\text A (9;-7)

et

\text B (-2;5)

4.

\text A (5;-1)

et

\text B (5;4)

5.

\text A (-1;3)

et

\text B (4;3)

☛ ** Trois points sont-ils alignés ?

Énoncé
Dans un repère orthonormé, on considère les points

\text{A}(-5;2)

,

\text B(3;-4)

et

\text C (15;-13)

.
Les points

\text A

,

\text B

et

\text C

 sont-ils alignés ?

Solution
Dire que les points 

\text A

,

\text B

et

\text C

 sont alignés revient à dire que le point

\text C

 appartient à la droite

(\text{AB})

.
Le vecteur

\overrightarrow{\text{AB}} \begin{pmatrix} 8\\ -6\\ \end{pmatrix}

 est un vecteur directeur de la droite

(\text{AB})

.
Ainsi, il existe un réel

c

 tel que

-6x-8y+c=0

 est une équation cartésienne de la droite

(\text{AB})

.

Or,

\text A \in (\text{AB})

 donc le réel

c

 vérifie

-6 \times (-5) - 8 \times 2 + c =0

 soit

{c=-14}

.
Donc une équation cartésiennede la droite

(\text{AB})

est

-6x-8y-14=0

e

On a

-6 \times 15 - 8 \times (-13) -14 =0

. Donc

\text{C}(15;-13) \in (\text{AB})

.

Doncles points 

\text A

,

\text B

et

\text C

 sont alignés.

** Ces points sont-ils alignés ?

Le plan est muni d'un repère orthonormé.
Dans chacun des cas suivants, déterminer une équation cartésienne de la droite

(\text{AB})

 et déterminer si les points 

\text A

,

\text B

et

\text C

 sont alignés.

1.

\text A (-1;0)

,

\text B (2;3)

et

\text C (5;6)

2.

\text A (-4;6)

,

\text B (4;2)

et

\text C (5;3)

*** Équation à partir de trois points

Le plan est muni d'un repère orthonormé.
Dans chacun des cas suivants, déterminer une équation de la droite

d

 passant par le point

\text{C}

 et parallèle à la droite 

(\text{AB})

.

1.

\text A (0;1)

,

\text B (2;5)

et

\text C (-1;3)

2.

\text A (-3;2)

,

\text B (1;-4)

et

\text C (5;-1)

3.

\text A \left(\dfrac{1}{3};\dfrac{3}{4}\right)

,

\text B \left(-\dfrac{5}{3};\dfrac{12}{4}\right)

et

\text C (0;7)

4.

\text A (4;-2)

,

\text B (6;-2)

et

\text C (-7;5)

5.

\text A (-5;-1)

,

\text B (-5;4)

et

\text C (-13;51)

*** Un ancien théorème

Dans un repère orthonormé

\left(\text O; \overrightarrow{i}; \overrightarrow{j} \right)

, on considère les points

\text A (-5;-7)

,

\text B (-1;9)

et

\text C (3;-2)

.

1.Calculer les coordonnées du milieu

\text M

 du segment

[\text{AB}]

.
2.Déterminer une équation cartésienne de la droite

d

 passant par le point

\text M

 et parallèle à la droite

(\text{AC})

.
3.Montrer que le point d'intersection des droites

d

et

(\text{BC})

 est le milieu du segment

[\text{BC}]

.

Remarque :il s'agit d'un des théorèmes de ladroite des milieux.

* Représentation graphique et équation cartésienne

* Construire, représenter une droite à partir d'une équation cartésienne

☛ ** Équation cartésienne à partir d'un point et d'un vecteur

** À la recherche de l'équation cartésienne

** Équation cartésienne à partir de deux points

☛ ** Trois points sont-ils alignés ?

** Ces points sont-ils alignés ?

*** Équation à partir de trois points

*** Un ancien théorème