Le plan est muni d'un repère orthonormé
.
Propriété
Soit
une droite parallèle à l'axe des ordonnées.
Alors, une équation cartésienne de
peut s'écrire sous la forme
, avec
.
Définition
Soit
une droite parallèle à l'axe des ordonnées qui admet comme équation
, avec
.
On dit que
est l'équation réduitede la droite
.
Exemples
On a représenté les droites d'équation
et
dans le repère orthonormé ci-dessus.
Remarques
- L'axe des ordonnées du repère admet comme équation réduite\(x=0\).
- Une droite parallèle à l'axe des ordonnées ne représente pas une fonction (car un nombre de l'ensemble de définition d'une fonction ne peut avoir qu'une seule image par cette fonction).
Propriétéréciproque
Soit
une droite d'équation réduite
, avec
.
Alors
est une droite parallèle à l'axe des ordonnées.
Démonstration
Soit
une droite d'équation réduite
, avec
.
Alors une équation cartésienne de la droite
est
soit
.
Ainsi un vecteur directeur de la droite
est le vecteur
.
Donc la droite
est une droite parallèle à l'axe des ordonnées.
Introduction GeoGebra - Droite d'équation y=mx+p
Sur GeoGebra, cliquer sur "Générer une équation aléatoire" : ceci crée, dans le repère, une droite d'équation
où
et
sont deux entiers compris entre
et
.
1.Générer plusieurs droites. Observer l'intersection de chaque droite avec l'axe des ordonnées. Quel semble être le rôle du coefficient
?
Le coefficient
est appelé l'ordonnée à l'originede la droite.
2.a.Générer plusieurs droites. Pour chacune, quel semble être l'impact du signe du coefficient
?b.Générer plusieurs droites. Quel semble être le rôle du coefficient
?
Le coefficient
est appelé lecoefficient directeurde la droite.
Droite non parallèle à l'axe des ordonnées - Généralités
Le plan est muni d'un repère orthonormé
.
Propriété
Soit
une droite non parallèle à l'axe des ordonnées.
Alors une équation cartésienne de
peut s'écrire sous la forme
, avec
et
deux réels.
Définition
Soit
une droite non parallèle à l'axe des ordonnées qui admet comme équation
,avec
et
deux réels.
On dit que
est l'équation réduitede la droite
.
Exemples
On a représenté les droites d'équation
et
dans le repère orthonormé ci-dessus.
Remarques
- Toute droite du plan possède une unique équation réduite.
- Une droite\(d\) d'équation réduite\(y=mx+p\) (où\(m\)et\(p\)sont deux réels) est la représentation graphique de la fonction affine définie sur \(\mathbb{R}\)par\(f(x)=mx+p\).
Propriétéréciproque
Soit
une droite d'équation réduite
.
Alors
est une droite non parallèle à l'axe des ordonnées.
Droite non parallèle à l'axe des ordonnées - Coefficients
Le plan est muni d'un repère orthonormé
.
Définitions
Soit
une droite d'équation réduite
, où
et
sont deux réels.
- Le coefficient\(m\) est appeléla pente (ou le coefficient directeur)de la droite\(d\).
- Le coefficient\(p\) est appelél'ordonnée à l'originede la droite\(d\).
Remarque
Soit
une droite d'équation réduite
, où
et
sont deux réels.
Si
alors
. Le point
appartient donc à la droite
.
Il appartient aussi à l'axe des ordonnées.
est donc l'ordonnée du point d'intersection de
avec l'axe des ordonnées. Ceci explique le nom donné au coefficient
!
Exemples
- L'ordonnée à l'originede la droite d'équation\(\color{green}{y=2x+3}\) est\(\color{green} 3\).
- L'ordonnée à l'originede la droite d'équation\(\color{red}{y=-x-2}\) est\(\color{red}{-2}\).
Propriété
Soit
une droite d'équation réduite
, où
et
sont deux réels.
Alors
est un vecteur directeur de la droite
. Ceci explique le nom donné au coefficient
!
Démonstration
Soit
une droite d'équation réduite
, où
et
sont deux réels.
Alors
est une équation cartésienne de la droite
et
est un vecteur directeur de la droite
.
Remarque
Soit
la droite d'équation réduite
, où
et
sont deux réels.
Si
, alors la droite a pour équation
; elle est parallèle à l'axe des abscisses.
Exemples
- Lecoefficient directeurde la droite\(\color{green}{d_1}\) est\(\color{green}{2}\).
- Lecoefficient directeurde la droite\(\color{red}{d_2}\) est\(\color{red}{-1}\).
- La droite\(\color{purple}{d_3}\) estparallèle à l'axe des abscisses : son coefficient directeur est nul.
Droite non parallèle à l'axe des ordonnées - Coefficient directeur
Le plan est muni d'un repère orthonormé
.
Propriété
Soit
la droite d'équation réduite
, où
et
sont deux réels. On appelle
la fonction affine définie sur
par
. Elle est représentée graphiquement par la droite
.
- Si\(m > 0\), alors la fonction \(f\) est strictement croissante sur\(\mathbb{R}\).
- Si\(m=0\), alors la fonction\(f\) est constante sur\(\mathbb{R}\).
- Si\(m<0\), alors la fonction\(f\) est strictement décroissante sur\(\mathbb{R}\).
Propriété
Soit
la droite d'équation réduite
, où
et
sont deux réels.
Soit
et
deux points distincts de
.
Alors le coefficient directeur de
est donné par
.
Démonstration
Soit
la droite d'équation réduite
, où
et
sont deux réels.
Soit
et
deux points distincts de
.
Un vecteur directeur de la droite
est
. Le vecteur
de coordonnées
est un vecteur non nul colinéaire au vecteur
.
Doncle vecteur
est également un vecteur directeur de la droite
.
Pusisque le vecteur
est un vecteur directeur de la droite
, on en déduit que :
.
Exemple
Soit
et
deux points d'une droite
d'équation réduite
.
Le coefficient directeur de la droite
est :
.
✎☛ Déterminer une équation réduite à partir d'un coefficient directeur et d'un point
Dans un repère orthonormé du plan, on considère une droite
de coefficient directeur
m
et passant par un point
.
Méthode
L'équation réduite de la droite est de la forme
.
On remplace
par sa valeur. Puis on trouve la valeur de l'ordonnée à l'origine
:on remplace les variables
et
par les coordonnées du point
.
Énoncé
Dans un repère orthonormé du plan, on considère la droite
passant par le point
et de coefficient directeur
. Déterminer l'équation réduite de la droite
.
Solution
L'équation réduite de la droite
est de la forme
, où
m
et
p
sont des réels.
Puisque
, l'équation réduite est
.
signifie que
.
Ainsi, en résolvant l'équation, on obtient
.
Donc l'équation réduite de la droite
est
.
✎☛ Déterminer une équation réduite à partir de deux points
Dans un repère orthonormé du plan, on considère deux points
et
.
On veut déterminer l'équation réduite de la droite
.
Méthode
- Si\(x_{\text A} = x_{\text B}\), alors l'équation réduite de la droite \((\text{AB})\) est\(x=x_A\).
- Si\(x_{\text A} \neq x_{\text B}\), alors l'équation réduite de la droite\((\text{AB})\)est de la forme\(y = mx+p\).On calcule le coefficient directeur\(m\) à l'aide des coordonnées des points\(\text A\) et\(\text B\). Puis, on calcule la valeur de l'ordonnée à l'origine\(p\) : on remplace les variables\(x\) et\(y\) par les coordonnées du point\(\text A\) (ou par celles du point\(\text B\)), puis on résout l'équation obtenue.
Énoncé
Dans un repère orthonormé du plan, on considère les points
et
.
Déterminer l'équation réduite de la droite
.
Solution
On a
, donc la droite
n'est pas parallèle à l'axe des ordonnées et son équation réduite est de la forme
, où
m
et
p
sont des réels.
On a
et l'équation réduite est donc
.
signifie que
.
Ainsi, en résolvant l'équation précédente, on obtient
.
Donc l'équation réduite de la droite
est
.