Étude de la fonction ln

Théorème

La fonction

\ln

 est dérivable sur

]0\ ; +\infty[

 et, pour toutréel 

x

strictement positif, on a

\ln'(x)=\dfrac{1}{x}

.

Démonstration

On admet que la fonction

\ln

 est dérivable sur

]0 \ ;+\infty[

.
Pour tout réel

x>0,\ \text{e}^{\ln(x)}=x

. (*)

x \mapsto \text{e}^{\ln(x)}

 est la composée de

u

par

v

 avec

u(x)=\ln(x)

et

v(x)=\text{e}^x

.
On rappelle que

(v \circ u)^{\prime}=u^{\prime} \times (v^{\prime} \circ u)

.
En dérivant chaque membre de l'égalité (*), on obtient

\ln'(x)\text{e}^{\ln(x)}=1

.
Ainsi

\ln'(x) \times x=1

 et donc

\ln'(x)=\dfrac{1}{x}

.

Propriété

La fonction

\ln

 est strictement croissante sur

]0\ ;+\infty[

.

Démonstration

La fonction

\ln

 est dérivable sur

]0\ ;+\infty[

 et, pour toutréel 

x

 strictement positif, on a

\ln'(x)=\dfrac{1}{x}

.
Pour toutréel 

x

 strictement positif, 

\dfrac{1}{x}>0

 donc la fonction

\ln

 est strictement croissante sur

]0\ ;+\infty[

.

☛ Conséquences de la stricte croissance de la fonction ln

Propriété

Soit 

x

et

y

deux réelsstrictement positifs, alors :

\ln(x) = \ln(y) \Leftrightarrow x = y

\ln(x) \geqslant \ln(y) \Leftrightarrow x \geqslant y

\ln(x) > \ln(y) \Leftrightarrow x > y

Énoncé

Étudier les variations de la fonction

f

 définie sur

\mathbb{R}

par

f(x)=\text{e}^{2x}-8x+1

.

Solution

f

 est dérivable sur

\mathbb{R}

 et, pour tout réel 

x

, on a

\ f'(x)=2\text{e}^{2x}-8

.

2\text{e}^{2x}-8\geqslant 0 \Leftrightarrow \text{e}^{2x} \geqslant 4\\2\text{e}^{2x}-8\geqslant 0 \Leftrightarrow \ln(\text{e}^{2x}) \geqslant \ln(4)\\2\text{e}^{2x}-8\geqslant 0 \Leftrightarrow 2x \geqslant \ln(2^2)\\2\text{e}^{2x}-8\geqslant 0 \Leftrightarrow 2x \geqslant 2\ln(2)\\2\text{e}^{2x}-8\geqslant 0 \Leftrightarrow x \geqslant \ln(2)\\

On en déduit le tableau de variations suivant pour

f

.

Remarque

La valeur du minimum est

f(\ln(2))=5-8\ln(2)

.

Continuité

Propriété

La fonction 

\ln

est continue sur

]0\ ;+\infty[

.

Démonstration

La fonction

\ln

est dérivable sur

]0\ ;+\infty[

 donc continue sur

]0\ ;+\infty[

.

Étude de la convexité

Propriété

La fonction 

\ln

est concave sur

]0 \ ; +\infty[

.

Démonstration

\ln

 est dérivable sur

]0\ ; +\infty[

 et, pour tout réel

x>0,\ \ln'(x)=\dfrac{1}{x}

.

\ln^{\prime}

 est dérivable sur

]0\ ; +\infty[

 et, pour tout réel

x>0,\ \ln''(x)=-\dfrac{1}{x^2}

.
Pour tout réel 

x

 strictement positif, 

\ln''(x)<0

donc la fonction

\ln

 est concave sur

]0 \ ;+\infty[

.

Limites aux bornes

Propriété

\lim\limits_{\substack{x \to 0 \\ x>0}}\ln(x)=-\infty

et

\lim\limits_{x \to +\infty}\ln(x)=+\infty

Démonstration

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;•&nbsp;Soit

A \in \mathbb{R}

.Pour tout réel

x \geqslant \text{e}^A,\ \ln(x) \geqslant A

.Ainsi, tout intervalle de la forme 

[A\ ;+\infty[

contienttoutes les valeurs de \(\ln(x)\) pour 

x

suffisamment grand donc

\lim\limits_{x \to +\infty}\ln(x)=+\infty

.

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;•&nbsp;Pour tout réel

x>0,\ \ln(x)=-\ln\left(\dfrac{1}{x}\right)

.

\lim\limits_{\color{green}{\substack{x \to 0 \\ x>0}}}\dfrac{1}{x}=\color{red}{+\infty}

et

\lim\limits_\color{red}{{X \to +\infty}}\ln(X)=\color{blue}{+\infty}

 donc par composée

\lim\limits_\color{green}{{\substack{x \to 0 \\ x>0}}}\ln\left(\dfrac{1}{x}\right)=\color{blue}{+\infty}

.Comme 

\ln(x)=-\ln\left(\dfrac{1}{x}\right)

donc

\lim\limits_{\substack{x \to 0 \\ x>0}}\ln(x)=-\infty

.

Tableau de variations

Propriété

Le tableau complet des variations de la fonction

\ln

 est le suivant.

Courbe représentative

Propriété

On se place dans un repère orthonormé du plan. Les courbes représentatives des fonctions logarithme népérien et exponentielle sont symétriques par rapport à la droite d'équation\(y=x\).
En faisant varier le point M sur la courbe rouge, qui représente la fonction exponentielle, on voit apparaître, en bleu, la courbe représentative de la fonction logarithme népérien.

Croissances comparées

Propriété

Pour tout entier naturel

n

 non nul, on a

\lim\limits_{\substack{x \to 0\\ x>0}}x^n\ln(x)=0

et

\lim\limits_{x \to +\infty}\dfrac{\ln(x)}{x^n}=0

.

Démonstrationdans le cas où\(\boldsymbol{n=1}\)

\lim\limits_{x \to +\infty}\ln(x)=+\infty

 .Par croissances comparées,

\lim\limits_{X \to +\infty}\dfrac{\text{e}^X}{X}=+\infty

 donc

\lim\limits_{X \to +\infty}\dfrac{X}{\text{e}^X}=0

.Par composée, 

\lim\limits_{x \to +\infty}\dfrac{\ln(x)}{\text{e}^{\ln(x)}}=0

 donc

\lim\limits_{x \to +\infty}\dfrac{\ln(x)}{x}=0

.

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;•&nbsp;Pour tout réel

x>0

, on a

\ x\ln(x)=-\dfrac{\ln\left(\frac{1}{x}\right)}{\frac{1}{x}}

.

\lim\limits_\color{green}{{\substack{x \to 0 \\ x>0}}}\dfrac{1}{x}=\color{red}{+\infty}

 et, par croissances comparées, 

\lim\limits_\color{red}{{X \to +\infty}}\dfrac{\ln(X)}{X}=\color{blue}{0}

donc, par composée, 

\lim\limits_\color{green}{{\substack{x \to 0 \\ x>0}}}\dfrac{\ln\left(\frac{1}{x}\right)}{\frac{1}{x}}=\color{blue}{0}

.

x\ln(x)=-\dfrac{\ln\left(\frac{1}{x}\right)}{\frac{1}{x}}

 donc

\lim\limits_{\substack{x \to 0 \\ x>0}}x\ln(x)=0

.

☛ Déterminer des limites par croissances comparées

Énoncé

On considère la fonction

f

 définie sur

]0\ ;+\infty[

par

f(x)=x^2-3x\ln(x)

.
Déterminer les limites de la fonction

f

 aux bornes de son ensemble de définition.

Solution

\lim\limits_{\substack{x \to 0\\ x>0}}x^2=0

et

\lim\limits_{\substack{x \to 0\\ x>0}}-3x\ln(x)=0

 par croissances comparées.Par somme

\lim\limits_{\substack{x \to 0\\ x>0}}f(x)=0

.

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;•&nbsp;Pour tout réel

x>0,\ f(x)=x^2\left(1-3 \times \dfrac{\ln(x)}{x}\right)

.

\lim\limits_{x \to +\infty}x^2=+\infty

.Par croissances comparées,

\lim\limits_{x \to +\infty}\dfrac{\ln(x)}{x}=0

 donc

\lim\limits_{x \to +\infty}\left(1-3 \times \dfrac{\ln(x)}{x}\right)=1

.Par produit,

\lim\limits_{x \to +\infty}x^2\left(1-3 \times \dfrac{\ln(x)}{x}\right)=+\infty

 donc

\lim\limits_{x \to +\infty}f(x)=+\infty

.

Dérivée et sens de variation

☛ Conséquences de la stricte croissance de la fonction ln

Continuité

Étude de la convexité

Limites aux bornes

Tableau de variations

Courbe représentative

Croissances comparées

☛ Déterminer des limites par croissances comparées