Exercices bilan et problèmes

Dans cet exercice, on se propose de résoudre l'équation 

x^2 + \dfrac{1}{x^2} = 5

 de deux méthodes différentes.

Partie 1 - Résolution par un changement de variable
1.Montrer que résoudre l'équation

x^2 + \dfrac{1}{x^2} = 5

équivaut à résoudre l'équation 

x^4 - 5x^2 + 1 = 0

.
2.En effectuant le changement de variable

t=x^2

, résoudre sur

\mathbb R

l'équation

t^2 - 5t + 1 = 0

.
3.En déduire les solutions de l'équation 

x^2 + \dfrac{1}{x^2} = 5

.

Partie 2 - Résolution par factorisation
1.Montrer que résoudre l'équation

x^2 + \dfrac{1}{x^2} = 5

est équivalent à résoudre l'équation

\left(x + \dfrac{1}{x}\right)^2 = 7

.
2.En déduire les solutions de l'équation 

x^2 + \dfrac{1}{x^2} = 5

.

Partie 3 - Des considérations sur les solutions
Dans cette partie, on démontrera des résultats concernant les propriétés des solutions de l'équation

x^2 + \dfrac{1}{x^2} = 5

. On vérifiera que les solutions trouvées dans les parties 1 et 2 ont ces propriétés.

Remarque
En mathématiques, ce travail est très souvent préliminaire à la résolution et permet de se rendre compte de la forme des solutions d'une équation.

Soit

a

un nombre réel.
1.Montrer que si 

a

 est solution de l'équation, alors 

-a

 l'est aussi.
2.Montrer que si 

a

 est solution de l'équation, alors 

\dfrac{1}{a}

 l'est aussi.
3.Vérifier que les solutions trouvées dans les parties 1 et 2 satisfont à ces propriétés.

Une somme de puissances d'entiers

On considère trois entiers consécutifs. On note 

n

 celui du milieu (qui n'est donc ni le plus grand, ni le plus petit). 
L'objectif de l'exercice est de déterminer pour quelle(s) valeur(s) de

n

la somme des puissances quatrièmes de ces trois nombres est égale à

353

.

Partie 1 - Tâtonnement 
1.Calculer la somme suivante

1^4+2^4+3^4

et établir si, oui ou non,

n=2

est solution du problème posé.
2.Justifier que

n=3

est solution du problème posé.

Partie 2 - Ensemble des solutions
1.Démontrer que répondre au problème équivaut à résoudre l'équation

3n^4+12n^2+2=353

.
2.Résoudre l'équation précédente ; on pourra s'aider du changement de variable

t=n^2

.
3.Conclure.

Sujet Olympiades de mathématiques métropole 2023 - Une descente infinie

Dans tout l’exercice,

\alpha

désigne un entier naturel supérieur ou égal à

4

.

On considère l’équation

(E)

ci-dessous dont l’inconnue est le triplet d’entiers relatifs

(x_1, x_2, x_3) \in\mathbf{Z^3}

.

(E) : x_1^2+x_2^2+x_3^2=\alpha x_1x_2x_3

Le but de l’exercice est de démontrer que le seul triplet dans 

\mathbf{Z^3}

solution de 

(E)

est

(0,0,0)

.

Partie 1
Soit 

b

et

c

deux réels. On considère la fonction polynôme 

P

de

\mathbf{R}

dans 

\mathbf{R}

définie par

P(x)= x^2+bx+c

. Un réel 

r

tel que 

P(r)=0

est appelé racinede

P

. On suppose dans cette partie que 

P

admet deux racines distinctes,

r_1

et

r_2

. Ainsi,

P(x)= (x-r_1)(x-r_2)

  pour tout réel

x

.
1.Exprimer 

b

et

c

en fonction de 

r_1

et

r_2

.
2.On suppose ici 

b\le0

et

c\ge0

.
Que peut-on dire du signe de 

r_1

et

r_2

?

Partie 2
1. a.On suppose que le triplet 

(x_1, x_2, x_3) \in\mathbf{Z^3}

est solution de l’équation 

(E)

. Montrer que

(|x_1|,|x_2|,|x_3|)

 est aussi solution de l’équation

(E)

.
    b.En déduire que, s’il existe un triplet d’entiers relatifs différent de 

(0,0,0)

solution de l’équation

(E)

, alors il existe un triplet d’entiers naturels différent de 

(0,0,0)

 solution de l’équation

(E)

.
2.Si le triplet 

(x_1, x_2, x_3) \in\mathbf{Z^3}

est solution de l’équation

(E)

, que dire du triplet

(x_2,x_1,x_3)

?
3.En déduire que, si l’équation

(E)

 admet une solution dans 

\mathbf{Z^3}

différente du triplet

(0,0,0)

, alors elle admet une solution 

(x_1,x_2,x_3)

 dans 

\mathbf{N^3}

différente du triplet 

(0,0,0)

et telle que

x_1\le x_2 \le x_3

.

Partie 3
On suppose donc dans cette partie qu’il existe un triplet d’entiers naturels 

(x_1,x_2,x_3)

différent de 

(0,0,0)

solution de 

(E)

et tel que 

x_1\le x_2\le x_3

. On fixe un tel triplet.
1.Démontrer que

x_1>0

.
2.On définit la fonction 

Q

de

\mathbf{R}

dans 

\mathbf{R}

par

Q(x) = x^2-\alpha x_1x_2x+x_1^2+x_2^2

. Un réel 

r

tel que 

Q(r)=0

est appelé racine de

Q

.
    a.Soit 

y

un réel. Montrer que 

(x_1,x_2,y)

est solution de 

(E)

si, et seulement si, 

y

est une racine de

Q

.
    b.Indiquer une première racine de 

Q

à partir des données de l’énoncé.
    c.Vérifier que 

Q(x_2)=(3-\alpha x_1)x_2^2+(x_1^2-x_2^2)

et en déduire que

Q(x_2) <0

.
    d.Quel est le signe de 

Q(0)

?
    e.Démontrer que 

Q

a deux racines distinctes : celle donnée précédemment et une autre notée 

y

; ranger dans l’ordre croissant les nombres

0

,

x_2

et

x_3

et

y

et justifier qu’ils sont tous distincts.
    f.Montrer que 

(x_1,x_2,y)

est un triplet d’entiers naturels solution de l’équation

(E)

.
3.Que donne le raisonnement de la question 

2

en remplaçant le triplet solution 

(x_1,x_2,x_3)

 par le triplet constitué de 

x_1,x_2,y

rangés dans l’ordre croissant ?
4.Expliquer comment aboutir à une absurdité et conclure quant aux triplets d’entiers relatifs solutions de l’équation

(E)

.
5.Démontrer le résultat suivant :
« Soit 

n\in \mathbb{N}

et

\alpha \in \mathbb{N}

avec 

\alpha>n\ge2

.
L’équation 

x_1^2+ \cdots+ x_n^2=\alpha x_1 \ldots x_n

d’inconnue 

(x_1, x_2, \ldots, x_n)

n’admet pas de

n

-uplet d’entiers relatifs solution autre que

(0,0,\ldots,0)

. »

Exercices bilan et problèmes

Des vitesses moyennes

La corniche du tableau

Question d'aires égales

Étude d'une équation

Une somme de puissances d'entiers

Sujet Olympiades de mathématiques métropole 2023 - Une descente infinie