Une entreprise produit du tissu. Le coût total de production (en euros) de l'entreprise est modélisé par la fonction
C
définie sur
[0;10]
par :
où
est la longueur de tissu fabriqué exprimée en kilomètres.
Chaque kilomètre de tissu est vendu
euros.
On note
le bénéfice de l'entreprise, c'est-à-dire la différence entre la recette et le coût de production, pour la vente de
kilomètres de tissu.
1.Quel est le bénéfice de l'entreprise pour la vente de
kilomètres de tissu ?
2.Montrer que, pour tout
x
dans
[0;10]
,
.
3.Justifier que la fonction
B
est dérivable et donner une expression de
pour tout
x
dans
[0;10]
, où
est la fonction dérivée de la fonction
.
4.Dresser le tableau de signes de
sur
puis le tableau de variations de la fonction
.
5.Combien de kilomètres de tissu l'entreprise doit-elle produire afin d'obtenir un bénéfice maximal ?
D'après un sujet d'E3C, voie générale, spécialité mathématiques.
Consommation d'essence
On s'intéresse à la consommation d'essence d'un véhicule en fonction de sa vitesse.
Lecture graphique
Le graphique ci-dessous représente la consommation d'essence en litres pour
km en fonction de la vitesse en km.h
du véhicule.
Avec la précision permise par le graphique, répondre aux questions suivantes.
1.Quelle est la consommation du véhicule lorsque celui-ci roule à
km.h
?
2.Pour quelle(s) vitesse(s) le véhicule consomme-t-il
litres pour
km ?
3.Pour quelle vitesse la consommation du véhicule semble-t-elle minimale ?
Modélisation
Si on note x
la vitesse du véhicule en km.h
, avec
, la consommation d'essence en litres pour
km est modélisée par la fonction
d'expression :
.
On désigne par
la fonction dérivée de la fonction
sur l'intervalle
.
4.Montrer que, pour tout
,
.
5.Démontrer la conjoncture de la question 3.
Coût moyen minimal
Une entreprise produit entre
millier et
milliers de pièces par jour. Le coût moyen de production d'une pièce, en milliers d'euros, pour
milliers de pièces produites, est donné par la fonction
définie pour tout réel
par
.
1.Calculer le coût moyen de production d'une pièce lorsque l'entreprise produit
milliers de pièces.
2.On admet que
est dérivable sur
et on note
sa fonction dérivée. Montrer que, pour tout réel
,
.
3.Vérifier que, pour tout réel
,
.
4.En déduire le tableau de variations de
sur
.
5.Déterminer le nombre de pièces à fabriquer pour que le coût moyen de production
d'une pièce soit minimal, ainsi que la valeur de ce coût minimal.
D'après un sujet d'E3C, voie générale, spécialité mathématiques.
Une étude de fonction
Soit
h
la fonction définie sur
[-6 \ ; 26]
par :
.
1.Soit
la fonction dérivée de
. Exprimer
en fonction de
.
2.On note
la courbe représentative de
et
celle de
.a.Identifier
et
sur le graphique orthogonal ci-dessous parmi les trois courbes
,
et
proposées.b.Justifier le choix pour
.
3.Soit
la tangente à
au point
d'abscisse
. Déterminer son équation réduite.
4.Étudier le signe de
puis dresser le tableau de variations de la fonction
sur
.
Enclos d'aire maximale
Un fermier souhaite réaliser un enclos rectangulaire pour des poules et des poussins, adossé à un mur de sa ferme afin d’économiser du grillage. Ainsi, il ne grillagera que
côtés de son enclos.
Il possède
mètres de grillage. Il souhaite construire un enclos d’aire maximale.
On appelle
la longueur du côté de l’enclos perpendiculaire au mur.
On appelle
la fonction qui à un nombre
associe
, l’aire de l’enclos. La fonction
est ainsi définie sur l’intervalle
.
1. a.Vérifier que l’aire
.b.Montrer que la forme canonique de
est
.
2.Quatre courbes ont été tracées sur le graphique ci-dessous. Identifier celle qui représente la fonction
.
3.Dresser le tableau de variations de la fonction
.
4.Pour quelle valeur de
l’aire de l’enclos est-elle maximale ? Donner la valeur de cette aire.
Distance minimale
1.Soit la fonction
définie sur l’intervalle
par
.
Étudier les variations de
sur
.
2.Dans un repère orthonormé, on considère la courbe
représentant la fonction racine carrée et le point
.
a.Soit
un point de
. Exprimer
en fonction de
.b.En déduire que
.c.Déterminer les coordonnées du point de
le plus proche de
. Ce point est noté\(\text B\) pour la suite.d.Un élève affirme que la tangente en
à
est perpendiculaire au segment
. A-t-il raison ? Justifier.
Positions relatives d'une droite et d'une courbe
Dans le plan muni d’un repère, on a tracé la courbe représentative
d’une fonction
définie et dérivable sur
. On note
la dérivée de
.
On sait que la courbe
admet exactement deux tangentes horizontales :
• l’axe des abscisses comme tangente à la courbe
au point
,
• la droite
comme tangente à la courbe
au point
.
1.Par lecture graphique, donner les solutions de l’équation
.
La fonction
est définie sur
par
. On note
la dérivée de
.
2.Déterminer
pour tout réel
.
3.En déduire le tableau de variations de
.
4.En utilisant ce qui précède, déterminer la position relative de la courbe
de la fonction
définie sur
par
et de la droite
d’équation
.
Rectangle d'aire maximale
Partie A
Étudier sur
le signe de
.
Partie B
On se place dans un plan muni d'un repère orthonormé. La courbe
représentée sur le graphique ci-dessous est l'ensemble des points de l'hyperbole d'équation :
avec
appartenant à l'intervalle
.
Pour toute abscisse
dans l'intervalle
, on construit le rectangle
comme indiqué sur la figure. On donne les informations suivantes :
et
sont sur l'axe des abscisses ;
est d'abscisse
;
et
ont pour abscisse
;
appartient à la courbe
;
et
ont la même ordonnée.
L'objectif de ce problème est de déterminer la ou les valeurs éventuelles
de l'intervalle
correspondant à un rectangle
d'aire maximale.
1.Déterminer l'aire du rectangle
lorsque
.
2.Déterminer l'aire du rectangle
lorsque
.
On définit la fonction
qui, à tout réel
de
, associe l'aire du rectangle
. On admet que :
.
3.Répondre au problème posé.
Optimisation d'aire
1.Soit
f
la fonction définie sur l’intervalle
par
.
a.Montrer que, pour tout réel
de
,
a le même signe que
.b.Étudier les variations de la fonction
sur
.
2. Dans un repère orthonormal, on considère la parabole
d’équation
et la droite
d’équation
. On considère le rectangle
tel que :
est un point de
dont l’abscisse
est un réel de
;
est le symétrique de
par rapport à l’axe des ordonnées ;
et
sont respectivement les projetés orthogonaux de
et
sur la droite
.
a.Lorsque l’abscisse
du point
varie dans
, l’aire du rectangle
est-elle constante ?b.Montrer que l’aire du rectangle
en fonction de l’abscisse
de
est
.c.Montrer que l’aire maximale du rectangle
est
.
Optimisation d'un coût moyen
Une entreprise fabrique
milliers d'objets,
. Le coût total de fabrication, exprimé en euros en fonction de
, est donné par l'expression :
.
1. a.Calculer le coût total de fabrication de
objets.b.Déterminer le coût moyen de fabrication d'un millier d'objets lorsqu'on fabrique
objets.
2.Le coût moyen
de fabrication de
milliers d'objets, exprimé en euros, est donné par l'expression :
.a.On note
la fonction dérivée, sur l'intervalle
, de la fonction
. Montrer que, pour tout
,
.b.Étudier le signe de
et dresser le tableau de variations de la fonction
sur l'intervalle
.c.Quel est le coût moyen minimal et pour quelle quantité d'objets est-il obtenu ?
Tangente commune à deux courbes
On donne ci-dessous les représentations graphiques respectives
et
de deux fonctions
et
définies sur
l’ensemble des nombres réels.`
1.La fonction
est définie sur
par
.
On admet qu’elle est dérivable sur
et on note
sa fonction dérivée.a.Calculer
.b.Déterminer le signe de
en fonction du réel
. En déduire le tableau de variations de la fonction
.c.Déterminer une équation de la droite
tangente à
au point d’abscisse
.
2.La fonction
est une fonction polynôme du second degré ; il existe donc trois réels
,
et
tels que :
pour tout réel
. On note
son discriminant.a.Déterminer, à l’aide du graphique, le signe de
et le signe de
.b.La fonction
est définie, pour tout réel
, par
.
Démontrer que les courbes
et
ont un point commun d’abscisse
et qu’en ce point elles ont la même tangente.
Une étude de fonction
1.Étudier le signe de la fonction
définie sur
par
.
On considère la fonction
définie sur l'intervalle
par
et on note
sa courbe représentative dans un repère orthogonal du plan. On admet que la fonction
est dérivable sur l'intervalle
.
2.Montrer que, pour tout réel
de l'intervalle
,
où
est la fonction dérivée de
.
3.Étudier le signe de
sur
et construire le tableau de variations de la fonction
sur
.
4.Donner le minimum de la fonction
sur
et la valeur pour laquelle il est atteint (on donnera les valeurs exactes).
5.Déterminer le coefficient directeur de la tangente
à la courbe
au point d'abscisse
.
Optimisation de la surface d'une boîte
On souhaite fabriquer des boîtes de rangement sans couvercle.
Les boîtes auront la forme d'un parallélépipède rectangle de hauteur
16
cm et de base un rectangle ayant pour dimensions
x
et
y
exprimées en cm.
Chaque boîte a un volume de
10\ 000
cm
.
1.Calculer
lorsque
cm.
2. Pour toute valeur de
, on note
l'aire du parallélépipède rectangle. Démontrer que: pour tout
,
.
3. Quelles dimensions doit-on donner à ces boîtes pour que leur surface ait une aire minimale ?
Concentration d'un médicament
Un médicament contre la douleur est administré par voie orale. La concentration du produit actif dans le sang, en milligramme par litre de sang, est modélisé par la fonction
qui, au temps écoulé
en heure,
étant compris entre
et
, associe :
où
.
Le produit actif est efficace si sa concentration dans le sang est supérieure ou égale à
mg/L.
1.En exécutant le script Python ci-dessous, on obtient la liste
.
À l'aide de ce résultat, indiquer l'intervalle de temps en unité d'heures sur lequel le médicament est efficace.
2.On admet que la fonction
est dérivable sur l'intervalle
. Calculer sa fonction dérivée.
3.Justifier que la tangente
à la courbe représentative de la fonction
au point
d'abscisse 4 admet pour équation réduite
.
4.Démontrer que
.
5.En déduire la position relative de la courbe représentative de la fonction
par rapport à la tangente
au point
.
Une solution approchée
On considère la fonction
définie et dérivable sur l'intervalle
par
.
1.On note
la fonction dérivée de
.a.Montrer que, pour tout réel
,
.b.En déduire le tableau de variations de
sur
.c.Déterminer l'abscisse du point de la courbe représentative de
pour lequel le coefficient directeur de la tangente vaut
.
2.On note
l'unique solution de l'équation
. On admet que
.
On considère la fonction suivante définie en langage Python.
\begin{array}{||}\hline1\quad\texttt{def zero_de_f(n):}\\2\quad\quad\texttt{a=}1\\3\quad\quad\texttt{b=}2\\4\quad\quad\texttt{for k in range(n):}\\5\quad\quad\quad\texttt{x=(a+b)/}2\\6\quad\quad\quad\texttt{if x}^{**}3\texttt{-x}^{**}2\texttt{-x}- 1<0:\\7\quad\quad\qquad\texttt{a=x}\\8\quad\qquad\texttt{else:}\\9\quad\quad\qquad\texttt{b=x}\\10\quad\;\;\texttt{return a,b}\\\hline\end{array}
a.On applique cette fonction pour
. Reproduire sur la copie et compléter le tableau suivant, jusqu'à l'arrêt de l'algorithme.
b.En déduire un encadrement de
, d'amplitude
, par deux nombres décimaux.
Lecture graphique
On considère la fonction
dont la fonction dérivée est la fonction
représentée ci-dessous :
Le tableau de variations de
est :