Une entreprise vend des smartphones d'un seul modèle « haut de gamme ».
Le service marketing modélise le nombre de smartphones modèle « haut de gamme » vendus par trimestre en fonction du prix de vente
x
par la fonction
N
définie par
où :
est le prix de vente en milliers d'euros d'un smartphone modèle « haut de gamme ».Le prix du smartphone modèle « haut de gamme » est compris entre 400 € et 2 000 €. On a donc
.
est le nombre de smartphones modèle « haut de gamme » vendus trimestriellement en millions d'unités.
1.Si le service commercial fixe le prix de vente de ce smartphone modèle « haut de gamme » à 1 000 €, quel sera le nombre de smartphones vendus trimestriellement ? On arrondira le résultat à mille unités.
La recette trimestrielle
est obtenue en multipliant le nombre de smartphones modèle « haut de gamme » vendus par le prix de vente.
On obtient
en milliards d'euros.
Le coût de production en milliards d'euros en fonction du nombre de smartphones modèle « haut de gamme » fabriqués est modélisé par la fonction
définie par
où
est le prix de vente en milliers d'euros.
Le bénéfice est obtenu en calculant la différence entre la recette et le coût de production.
2.Vérifier que le bénéfice trimestriel peut être estimé à
milliards d'euros pour un prix de vente à 1 000 €.
3.Montrer que le bénéfice trimestriel s'exprime en milliards d'euros en fonction du prix de vente
en milliers d'euros par :
.
4.On admet que, pour tout réel
.
Étudier les variations de la fonction
sur l'intervalle
.
5.À quel prix faut-il vendre ces smartphones pour assurer un bénéfice maximal ?
Une entreprise d'aéronautique
Une entreprise fabrique des pièces en acier, toutes identiques, pour l’industrie aéronautique. Ces pièces sont coulées dans des moules à la sortie du four. Elles sont stockées dans un entrepôt dont la température ambiante est maintenue à 25 °C.
Ces pièces peuvent être modelées dès que leur température devient inférieure ou égale à 600 °C et on peut les travailler tant que leur température reste supérieure ou égale à 500 °C.
La température de ces pièces varie en fonction du temps.
On admet que la température en degré Celsius de ces pièces peut être modélisée par la fonction
définie sur l’intervalle
par :
où
correspond au temps, exprimé en heures, mesuré après la sortie du four.
1.Calculer la température des pièces à la sortie du four.
2.Étudier le sens de variation de la fonction
sur l’intervalle
.
Ce résultat était-il prévisible dans le contexte de l’exercice ?
3.Les pièces peuvent-elles être modelées 10 heures après la sortie du four ? Après 14 heures ?
4.On souhaite déterminer le temps minimum d’attente en heures après la sortie du four avant de pouvoir modeler les pièces.a.Compléter l’algorithme donné ci-dessous pour qu’il renvoie ce temps minimum d’attente en heure (arrondi par excès à 0,1 près).
b.Déterminer ce temps minimum d’attente. On arrondira au dixième.
Tangente à une courbe
On considère la fonction
définie sur
par
.
On note
la représentation graphique de
dans un repère du plan.
1.Déterminer les coordonnées du point
, point d’intersection de la courbe
avec l’axe des ordonnées.
2.La courbe
coupe-t-elle l’axe des abscisses ? Justifier la réponse.
3.On note
la dérivée de la fonction
sur
. Montrer que, pour tout réel
de l’intervalle
,
.
4.Étudier le signe de
sur
. En déduire le sens de variation de
sur
.
5.On note
la tangente à
au point
d’abscisse
. La tangente
passe-telle par l’origine du repère ? Justifier la réponse.
Étude de fonction
On considère une fonction
définie et dérivable sur l’intervalle
.
La fonction dérivée de
est notée
.
Dans le repère orthonormé ci-dessous, la courbe
est la courbe représentative de
sur l’intervalle
.
Le point
est le point de la courbe
d’abscisse
.
La droite
est la tangente à la courbe
en
.
1.Par lecture graphique, donner la valeur de
.
2.Résoudre, graphiquement, l’inéquation
.
On admet que la fonction
est définie sur
par
.
3.Vérifier que, pour tout réel
de l’intervalle
,
.
4.Étudier le signe de la fonction
sur l’intervalle
.
5.En déduire les variations de
sur l’intervalle
.
Concentration d'un médicament
La concentration d’un médicament dans le sang en mg.L
au cours du temps
, exprimé en heure, est modélisée par la fonction
définie sur
par
dont la représentation graphique est donnée ci-dessous.
1.Calculer la valeur exacte de
et interpréter le résultat dans le contexte de l’exercice.
2.On note
la fonction dérivée de
. Montrer que, pour tout
,
.
3.Étudier le signe de
sur
.
4.Déduire de la question précédente le tableau de variations de la fonction
sur
.
5.Quelle est la concentration maximale du médicament dans le sang ? On donnera la valeur exacte, puis une valeur approchée à
près.
Une étude de fonction
Soit
la fonction définie sur
par :
.
On note
la courbe représentative de
. Sur la figure ci-dessous, on a tracé la courbe
dans un repère orthogonal où les unités ont été effacées.
est le point d’intersection de
avec l’axe des ordonnées et
le point d’intersection de
avec l’axe des abscisses.
est le point de
dont l’ordonnée est le maximum de la fonction
sur
.
1.Calculer les coordonnées des points
et
.
2.Soit
la fonction dérivée de
sur
. Montrer que, pour tout réel
,
.
3.Étudier le sens de variation de la fonction
.
4.En déduire que le point
admet comme coordonnées
.
5.Déterminer une équation de la tangente à la courbe
au point
, puis vérifier, à l’aide de l’équation obtenue, que le point
n’appartient pas à cette tangente.
Avec une fonction auxiliaire
Soit
g
la fonction définie sur l'intervalle
par
.
1.On admet que
est dérivable sur l'intervalle
et on note
sa fonction dérivée. Calculer
.
2.Étudier les variations de la fonction
sur l'intervalle
.
3.Démontrer que
est strictement positive sur
, c'est-à-dire que, pour tout
Soit
la fonction définie sur
par
.
On appelle
sa courbe représentative dans un repère du plan. On admet que
est dérivable sur l'intervalle
et on note
sa fonction dérivée.
4.Démontrer que, pour tout réel
de
,
En déduire les variations de
sur l'intervalle
.
5.Déterminer une équation de la tangente à
au point d'abscisse
.
Lecture graphique
Dans le repère orthogonal suivant on a tracé quatre courbes, chacune associée à une fonction de variable réelle
et d'expression
où
est un paramètre réel. Quelle courbe possède le plus petit paramètre
?
Calcul de dérivée et équation d'une tangente
Soit
la fonction définie sur
par
.
1.On note
la fonction dérivée de
.a.Montrer que, pour tout réel
,
.b.Étudier les variations de
sur
.
2.On note
la courbe représentative dans un repère et
la tangente à
de la fonction
au point A d’abscisse
.a.Déterminer une équation de la tangente
.b.On admet que la tangente
recoupe la courbe
au point P d’abscisse
strictement positive. À l’aide de la calculatrice, donner un encadrement de
au dixième près.
Tangente à une courbe
Soit
la fonction définie sur l’intervalle
par :
. La fonction dérivée de la fonction
est notée
.
1.Démontrer que, pour tout réel
,
.
2.Déterminer le signe de
sur l’intervalle
.
3.Établir le tableau de variations de la fonction
sur l’intervalle
. Indiquer dans ce tableau les valeurs exactes des extremums.
4.Quelles sont les coordonnées du point en lequel la tangente à la courbe représentative de la fonction
est parallèle à l’axe des abscisses ?
5.Déterminer l’équation réduite de la tangente à la courbe représentative de la fonction
au point d’abscisse
.
Puissance d'une note musicale
Une note de musique est émise en pinçant la corde d’une guitare électrique. La puissance du son émis, initialement de
watts, diminue en fonction du temps écoulé après pincement de la corde.
Soit
la fonction définie pour tout réel
par :
.
On admet que
modélise la puissance du son, exprimée en watts, à l’instant
où
est le temps écoulé, exprimé en secondes, après pincement de la corde.
On désigne par
la fonction dérivée de
.
1.Calculer
.
2.Dresser le tableau de variations de la fonction
sur
et interpréter ce résultat dans le contexte de l’exercice.
3.Quelle sera la puissance du son, trois secondes après avoir pincé la corde ? Arrondir au dixième.
4.On considère la fonction seuil ci-dessous :
Que renvoie cette fonction seuil ?
Un coût total
Une entreprise fabrique chaque jour
x
tonnes d'un produit. Le coût total mensuel, en milliers d'euros, pour produire chaque jour
x
tonnes de ce produit est modélisé par la fonction
C
définie sur l'intervalle [0 ; 10] par :
.
On a représenté ci-dessous la courbe
de la fonction
C
dans un repère.
1.Par lecture graphique, donner une estimation de la quantité journalière de produit pour laquelle le coût total mensuel est maximal.
2.Le coût marginal
, qui correspond au supplément de coût total pour la production d'une unité de valeur supplémentaire, est assimilé à la dérivée de la fonction coût total.a.Démontrer que le coût marginal
est défini sur l'intervalle
par
.b.Pour quelle quantité de produit fabriqué par jour le coût marginal est-il négatif ?c.Donner le tableau de variations de la fonction
sur l'intervalle
.d.Déterminer le coût total mensuel maximal sur l'intervalle considéré. On donnera la valeur arrondie à l'euro près.
Une étude de fonction
On considère la fonction
f
définie et dérivable sur
\mathbb{R}
par
où
a
et
b
sont des réels fixés.
La courbe représentative
de la fonction
f
est donnée ci-dessous, dans un repère orthogonal.
On a également représenté la tangente
à
au point
.
On admet que cette tangente
passe par le point
.
1.En exprimant
, déterminer la valeur de
.
2. a.À l’aide des coordonnées des points
et
, déterminer une équation de la droite
.b. Exprimer, pour tout réel
,
en fonction de
et de
et en déduire que, pour tout réel
,
.
3.On souhaite déterminer le maximum de la fonction
sur
.a.Montrer que, pour tout
,
.b.Déterminer les variations de
sur
et en déduire le maximum de
sur
.