On admet que, pour tous réels
et
, on a
.
1. a.Déterminer une formule analogue pour
.
b.En déduire la valeur exacte de
.
2. a.On rappelle que, pour tout réel
, on a
. Montrer que, pour tous réels
et
, on a
.
b.Déterminer une formule analogue pour
.
4. a.À l'aide des questions précédentes, montrer que, pour tout réel
,
b.En déduire la valeur exacte de
et
.
☆ Calculs d'intégrales
Soit les deux intégrales définies par
et
.
1.Démontrer que
et que
.
2.En déduire les valeurs exactes de
et de
.
Composée et fonction inconnue
On désigne par
lafonction définie sur
par
et
, où
désigne la dérivée de la fonction
sur
.
On necherchepasici à expliciter
.
On considère la fonction composée
définie sur
par
.
1.Démontrer que, pour tout réel
de l'intervalle
, on a
.
2.Calculer
puis donner l’expression de
.
Fonction arcsinus
1.Donner le tableau de variations de la fonction sinus sur
.
2.Soit
un réel appartenant à
. Montrer qu'il existe un unique réel
appartenant à \(\left[-\dfrac{\pi}{2}~;~\dfrac{\pi}{2}\right]\)et tel que
.
On définit ainsi, sur
, une nouvelle fonction appeléearcsinus et notée
.
Pour tout réel
de
et tout réel
de
, on a donc
.
3. a.Montrer que, pour tout réel
de
, on a
.
b.On admet que la fonctionarcsinusest dérivable sur
. Montrer que, pour tout réel
de l'intervalle
, on a
.
c.En déduire les variations de la fonctionarcsinussur l'intervalle
.
☆ Courbe paramétrée
Dans cet exercice, le plan est rapporté à un repère orthonormé
d'unité
cm.
On considère les fonctions
et
définies sur
par
et
.
On note
l'ensemble des points
du plan de coordonnées
, où
décrit
.
est appelé courbe paramétrée du plan.
1. a.Montrer que, pour tout réel
, les points
et
sont confondus.
b.Montrer que, pour tout réel
, les points
et
sont symétriques par rapport à l'axe des ordonnées.
c.Montrer que, pour tout réel
, les points
et
sont symétriques par rapport à l'origine du repère.
d.Expliquer pourquoi on peut limiter l'étude des fonctions
et
à l'intervalle
.
2.Étudier les variations des fonctions
et
sur l'intervalle
.
3.Soit
un réel. On admet que si
alors
admet en
une tangente dirigée par le vecteur de coordonnées
. Déterminer un vecteur directeur de la tangente à
aux points
et
.
4. a.Tracer, dans le repère
la portion de la courbe
pour
décrivant
. On prendra soin de faire figurer les vecteurs directeurs des tangentes considérées dans la question3.
b.Compléter la courbe précédente à l'aide des symétries évoquées dans la question 1.
Remarque
Une telle courbe est appelée courbe de Lissajous.
☆ Périodicité ?
Soit
a \in \mathbb{R}
.
On considère la fonction
, définie sur
.
1.Montrer que si
a
est rationnel, alors
f
est périodique.
2.Montrer que si
est irrationnel, alors
n'est pas périodique.
Intégrales de Wallis
Pour tout entier naturel
, on pose
, que l'on peut écrire plus simplement
.
1.Calculer
et
.
2. a.Montrer que la suite
est décroissante.
b.Montrer que, pour tout entier naturel
, on a
. Que peut-on en déduire ?
3.Soit
.a.À l'aide d'une intégration par parties, montrer que
.b.En déduire que
.c.Démontrer que, pour tout entier naturel
, on a
et
.
☆ Zêta
On définit, pour tout entier naturel
n
non nul, la suite
par
. L'objectif est de déterminer la limite de cette suite.
Pour tout entier naturel
, on pose
et
.
1.Calculer
et
.
2.Montrer que, pour tout entier naturel
, on a
.
3.Établir que, pour tout entier naturel
, on a
.
4. a.Montrer que, pour tout
, on a
.b.En déduire que, pour tout entier naturel
, on a
.c.Montrer alors que la suite de terme général
converge vers
.
5.Soit
un entier naturel.a.À l'aide d'une double intégration par parties, montrer que
.b.En déduire que
.c.En sommant les égalités précédentes, démontrer que la suite
converge vers
.