Soit
un entier naturel supérieur ou égal à 3. On dispose de
boules numérotées de 1 à
et d’une boîte formée de 3 compartiments identiques également numérotés de 1 à 3.
On lance simultanément les
boules. Elles viennent toutes se ranger aléatoirement dans les 3 compartiments. Chaque compartiment peut éventuellement contenir les
boules.
On note
la variable aléatoire qui à chaque expérience aléatoire fait correspondre le nombre de compartiments restés vides.
1.Préciser les valeurs prises par
.
2.a.Déterminer la probabilité
.
b. Déterminer complètement la loi de probabilité de
.
3. a.Calculer
.
b.Déterminer
. Interpréter ce résultat.
Exercice issu de la banque d'exercices d'oral de CCINP, filières MP et MPI.
☆ Loi géométrique
Soit
(X_n)
une suite de variables aléatoires indépendantes suivant toutes une loi de Bernoulli de même paramètre
p\in [0,1]
.
On considère
Y
la variable aléatoire qui donne le rang du premier succès de cette successiond'expériences indépendantes.
On dit alors que
Y
suit la loi géométrique de paramètre
p
.
1.Justifier que, pour tout entier naturel non nul
k
, on a
P(Y=k)=p(1-p)^(k-1)
.
2.Montrer que, pour tout entier naturel non nul
k
, on a
.
3.Déterminer la valeur de
k
à partir de laquelle on a
.
4.Que vaut
? Comment interpréter ce résultat ?
☆ Loi de Poisson
Soit
un réel strictement positif et
un entier naturel non nul.
On considère une variable aléatoire X suivant une loi binomiale
.
1.Soit
un entier naturel inférieur ou égal à
.
Montrer que
.
2.Déterminer
.
3.Déterminer
.
4. Pour tout entier naturel non nul
, on pose
.
a.En utilisant la définition du nombre dérivé, déterminer
.
b.En déduire
puis
.
5.Déterminer alors
.