Exercices vers le supérieur

Soit 

X

et

Y

 deux variables aléatoires réelles indépendantes, définies sur un même univers 

\Omega

.

1.Montrer que 

E(XY)=E(X) \times E(Y)

.

2.En déduire que 

V(X+Y)=V(X)+V(Y)

.

Soit 

n

 un entier naturel non nul. On considère 

n

 variables indépendantes 

X_1

,

X_2

, ..., 

X_n

 suivant des lois de Bernoulli de paramètres respectifs 

p_1

,

p_2

, ..., 

p_n

.

On note alors 

m_n=\dfrac{p_1+p_2+\dots +p_n}{n}

et

M_n=\dfrac{X_1+X_2+ \dots +X_n}{n}

1.Que vaut 

E(M_n)

?

2.Montrer que, pour tout entier naturel 

k

 compris entre 1 et 

n

, on a 

V(X_k) \leqslant \dfrac{1}{4}

.

3.En appliquant l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev à 

M_n

, montrer que, pour tout réel strictement positif 

\delta

, on a 

\displaystyle\lim_{n \to + \infty}P(|M_n-m_n|\geqslant \delta)=0

.

Soit

X

 une variable aléatoire à valeurs positives. On note

X\left(\Omega\right)=\left\{ x_{1},x_{2},...,x_{n}\right\}

 l'ensemble des valeurs prises par

X

.

1.Soit

a

 un réel strictement positif.a.Démontrer l'inégalité suivante. 

aP\left(X\geqslant a\right)\leqslant\displaystyle \sum _{\,x_{k}\geqslant a}x_{k}P\left(X=x_{k}\right)

.b.En déduire l'inégalité de Markov :

P\left(X\geqslant a\right)\leqslant\dfrac{E\left(X\right)}{a}

.

2.En appliquant l'inégalité de Markov à la variable aléatoire

\left(X-E(X)\right)^{2}

, démontrer alors l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev : pour tout

\varepsilon>0

,

P\left(\left|X-E(X)\right|\geqslant\varepsilon\right)\leqslant\dfrac{V\left(X\right)}{\varepsilon^{2}}

.

On considère la variable aléatoire 

X

 définie par 

P(X=-1)=P(X=0)=P(X=1)=\dfrac{1}{3}

.
(On dit que 

X

 suit la loi uniforme sur l'ensemble 

\{-1 ; 0 ; 1\}

.)

On considère la variable aléatoire 

Y

 telle que 

Y=1

si

X=0

et

Y=0

 sinon.

1.Déterminer la loi de 

Y

.

2.Calculer 

V(X)

et

V(Y)

.

3.Déterminer la loi de 

X+Y

.

4.Calculer 

V(X+Y)

et comparer le résultat avec 

V(X)+V(Y)

.

5.Les variables aléatoires 

X

et

Y

 sont-elles indépendantes ?

En arrivant, 

n

personnes laissent leur chapeau à un vestiaire. En repartant, chaque personne reprend un chapeau au hasard.
On note 

1,2,...,n

les personnes et on considère les variables aléatoires

X_i

, avec

1\leqslant i\leqslant n

, définies par : 

X_{i}=\begin{cases}1 & \text{si la personne} \,i\, \text{retrouve son chapeau}\\0 & \text{sinon}\end{cases}

1.Soit

X=X_{1}+X_{2}+...+X_{n}

. Que représente

X

?

2.Soit

i

 un entier tel que

1\leqslant i\leqslant n

.a.Montrer que

P\left(X_{i}=1\right)=\dfrac{1}{n}

.b.Quelle est la loi suivie par

X_i

?

3.Calculer

E(X)

 et interpréter.

☆ Variance d'une somme de deux variables indépendantes