Fonction exponentielle et suites

Propriété

Soit

a

un nombre réel non nul. La suite 

(u_n)

 définie pour tout 

n

naturel par 

u_n = \text e^{na}

est la suite géométrique de premier terme

u_0 = 1

 et de raison 

q = \text e^a

.

Démonstration

Pour tout

n

naturel,

\dfrac{u_{n+1}}{u_n} = \dfrac{\text e^{(n+1)a}}{\text e^{na} }={\text e^{(n+1)a - na}} = \text e^a

. On en déduit que la suite 

(u_n)

 est géométrique de raison

q = \text e^a

 et de premier terme 

u_0 = \text e^{0 \times a} = \text e^0 = 1

.

Propriété Variations de la suite \(\boldsymbol{(u_n)}\)

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;•&nbsp;La suite 

(u_n)

est strictement croissante lorsque

a>0

.

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;•&nbsp;La suite 

(u_n)

est strictement décroissante lorsque

a<0

.

Démonstration

(u_n)

est strictement croissante lorsque sa raison est strictement supérieure à

1

.
Or,

\text e^a>1

lorsque

a

est strictement positif, d'où le résultat.
On procède de façon analogue pour traiter le cas

(u_n)

strictement décroissante.

Exemples

1. La suite 

(u_n)

 définie, pour tout 

n

 entier naturel, par 

u_n = \text e^{5n}

est la suite géométrique de premier terme 

u_0 = 1

 et de raison 

q = \text e^5

.
2. La suite 

(u_n)

 définie, pour tout 

n

 entier naturel, par 

u_n = \dfrac{2}{\text e^{3n}}

est géométrique. En effet, 

u_n = \dfrac{2}{\text e^{3n}} = 2\text e^{-3n}

, son premier terme est

u_0 = 2

 et sa raison est 

q = \text e^{-3}

.
3. La suite 

(u_n)

 définie, pour tout 

n

 entier naturel, par 

u_n = \text e^{4 - 9n}

est géométrique. En effet

u_n = \text e^{4 - 9n} = \text e^{4 } \text e^{- 9n}

, son premier terme 

u_0 = \text e^4

 et sa raison est 

q = \text e^{-9}

.

On veut vérifier si la suite 

(u_n)

 définie, pour tout 

n

 entier naturel, par 

u_n = 8\text e^{8n + 2}

 est une suite géométrique.
Pour tout 

n

naturel, on a

\dfrac{u_{n+1}}{u_n} = \dfrac{8\text e^{8(n+1) + 2}}{8\text e^{8n + 2} }= \dfrac{\text e^{8n+8 + 2}}{\text e^{8n + 2} }= \dfrac{\text e^{8n+10}}{\text e^{8n + 2} }=\text e^{8n+10-8n - 2} =\text e^{8}

.
La suite 

(u_n)

 est la suite géométrique de raison

q =\text e^8

 et de premier terme 

u_0 =8 \text e^{8 \times 0 +2} = 8\text e^2

.

On veut vérifier si la suite 

(u_n)

 définie,pour tout 

n

 entier naturel, par 

u_n = \dfrac{-5 }{\text e^{2n - 3}}

est géométrique.
Pour tout 

n

naturel, on a 

\dfrac{u_{n+1}}{u_n} = \dfrac{\dfrac{-5 }{\text e^{2(n+1) - 3}}}{ \dfrac{-5 }{\text e^{2n - 3}} }= {\dfrac{-5 }{\text e^{2n+2 - 3}}} \times { \dfrac{\text e^{2n - 3}}{-5} }= \dfrac{\text e^{2n - 3}}{\text e^{2n-1}} = \text e^{2n - 3-2n + 1}= \text e^{-2}

.
La suite 

(u_n)

 est la suite géométrique de raison

q = \text e^{-2}

 et de premier terme

u_0 = \dfrac{-5 }{\text e^{2 \times 0 - 3}} = \dfrac{-5 }{\text e^{ - 3}} = -5 \text e^3

.

On veut vérifier si la suite 

(u_n)

 définie,pour tout 

n

 entier naturel, par 

u_n = -2\text e^{n^2-2n+3}

est géométrique.
Pour tout

n

naturel, on a

\dfrac{u_{n+1}}{u_n} = \dfrac{-2\text e^{(n+1)^2-2(n+1)+3}}{-2 \text e^{n^2-2n+3} }= \dfrac{\text e^{n^2 + 2n + 1-2n-2+3}}{\text e^{n^2-2n+3} }= \text e^{n^2 + 2-(n^2-2n+3)} \\ \dfrac{u_{n+1}}{u_n} = \text e^{n^2 + 2-n^2+2n-3}= \text e^{ 2n-1}

dont la valeur dépend de

n

.
La suite 

(u_n)

 n'est pas une suite géométrique. 