Propriété
Soit
un nombre réel non nul. La suite
définie pour tout
naturel par
est la suite géométrique de premier terme
et de raison
.
Démonstration
Pour tout
naturel,
. On en déduit que la suite
est géométrique de raison
et de premier terme
.
Propriété Variations de la suite \(\boldsymbol{(u_n)}\)
• La suite
est strictement croissante lorsque
.
• La suite
est strictement décroissante lorsque
.
Démonstration
est strictement croissante lorsque sa raison est strictement supérieure à
.
Or,
lorsque
est strictement positif, d'où le résultat.
On procède de façon analogue pour traiter le cas
strictement décroissante.
Exemples
1. La suite
définie, pour tout
entier naturel, par
est la suite géométrique de premier terme
et de raison
.
2. La suite
définie, pour tout
entier naturel, par
est géométrique. En effet,
, son premier terme est
et sa raison est
.
3. La suite
définie, pour tout
entier naturel, par
est géométrique. En effet
, son premier terme
et sa raison est
.
Fonction exponentielle et suites - Exemple 1
On veut vérifier si la suite
définie, pour tout
entier naturel, par
est une suite géométrique.
Pour tout
naturel, on a
.
La suite
est la suite géométrique de raison
et de premier terme
.
Fonction exponentielle et suites - Exemple 2
On veut vérifier si la suite
définie,pour tout
entier naturel, par
est géométrique.
Pour tout
naturel, on a
.
La suite
est la suite géométrique de raison
et de premier terme
.
Fonction exponentielle et suites - Exemple 3
On veut vérifier si la suite
définie,pour tout
entier naturel, par
est géométrique.
Pour tout
naturel, on a
dont la valeur dépend de
.
La suite
n'est pas une suite géométrique.