Forme canonique et variations des fonctions polynômes du second degré

Forme canonique

Propriété 
Soit

a

,

b

,

c

 trois réels, 

a

 non nul et

f

la fonction polynôme du second degré définie sur 

\mathbb{R}

par

f(x) = ax^2 + bx + c

. Il existe deux réels

\alpha

et

\beta

tels que, pour tout

x

dans

\mathbb R

,

f(x)

s'écrit de façon unique

f(x) = a (x-\alpha)^2 + \beta

.

Définition
L'expression donnée à la propriété précédente s'appelle la forme canonique de la fonction polynôme du second degré

f

.

Propriété (hors programme)

(\alpha ;\beta)

sont les coordonnées de l'extremum de la parabole représentative de la fonction polynôme du second degré et on a 

\alpha = -\dfrac{b}{2 a}

et

\beta = f(\alpha) = -\dfrac{\Delta}{4a}

.

Propriété Tableau de variations
Le tableau de variations d'une fonction polynôme du second degré dépend du signe de

a

:

Si

a<0

Si

a>0

Remarque
Si 

\Delta > 0

,

\alpha

 est la moyenne arithmétique des deux racines 

x_1

et

x_2

 de la fonction polynôme du second degré.
Si 

\Delta = 0

,

\alpha

 est la racine double 

x_0

de la fonction et, dans ce cas,

\beta

est nul.

Exemples
1.On considère la fonction 

f

 définie sur 

\mathbb{R}

par

f(x) = 8(x - 1)^2 + 3

.
Ici, 

a = 8

,

\alpha = 1

et

\beta = 3

.
2.On considère la fonction 

g

 définie sur 

\mathbb{R}

par

g(x) = (x-1,2)^2 - 4,5

.
Ici, 

a = 1

,

\alpha = 1,2

et

\beta = -4,5

.
3.On considère la fonction 

h

 définie sur 

\mathbb{R}

par

h(x) = -5(x+2)^2

.
Ici, 

a = -5

,

\alpha = -2

et

\beta = 0

.
On remarque qu'il s'agit également d'une forme factorisée avec 

a = -5

et

x_0 = -2

.
4.On considère la fonction 

i

 définie sur 

\mathbb{R}

par

i(x) = sqrt 2 x^2 - 25

.
Ici, 

a = \sqrt 2

,

\alpha = 0

et

\beta =-25

.
On remarque qu'il s'agit également de sa forme développée avec 

a = \sqrt 2

,

b = 0

et

c =-25

. 
5.La fonction carrée 

j(x) = x^2

 définie sur 

\mathbb{R}

 est sous forme canonique avec 

a=1

,

\alpha = 0

et

\beta = 0

.
6.La fonction du second degré telle que 

a = -3

, dont le sommet de la parabole associée a pour coordonnées 

( -8 ; 2)

, a pour expression 

k(x) = -3 (x +8 )^2+2

.

Représentation graphique des fonctions du second degré - Forme canonique

Dans ce fichier de géométrie dynamique, on considère une fonction polynôme du second degré exprimée sous forme canonique par

f(x) = a(x - \alpha)^2 + \beta

, avec 

a

,

\alpha

,

\beta

 trois réels, 

a

 non nul.
En modifiant les valeurs des curseurs des paramètres 

a

,

\alpha

et

\beta

, on observe l'influence de ces trois paramètres sur l'allure de la parabole représentative de la fonction 

f

.

On constate notamment que :

\alpha

et

\beta

correspondent aux coordonnées du sommet de la parabole représentative.

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;•&nbsp;En variant les valeurs de

\alpha

, on effectue une translation de la parabole parallèlement à l'axe des abscisses.

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;•&nbsp;En variant les valeurs de

\beta

, on effectue une translation de la parabole parallèlement à l'axe des ordonnées.

Tableau de variations d'une fonction du second degré - Exemple 1

On souhaite dresser le tableau de variations de la fonction

f

définie sur 

\mathbb{R}

par

f(x) = 3x^2 -2x + 1

.

Comme

a = 3 > 0

, la fonction est décroissante, puis croissante.
Elle change de sens de variation à

\alpha = \frac{-b}{2a} = \frac{-(-2)}{2 \times 3} = \frac{1}{3}

.
La valeur de l'extremum de la parabole représentative de la fonction

f

est

\beta = f(\alpha) = 3 \alpha^2 -2 \alpha + 1 = 3 (\frac{1}{3})^2 - 2 \times \frac{1}{3} + 1 = \frac{1}{3} - \frac{2}{3} + 1 = \frac{2}{3}

. 
On en déduit le tableau de variations :

Tableau de variations d'une fonction du second degré - Exemple 2

On souhaite dresser le tableau de variations de la fonction

f

définie sur 

\mathbb{R}

par

f(x) = 8x^2 -8x + 2

sur

\mathbb{R}

.

Comme 

a = 8 > 0

, la fonction est décroissante, puis croissante.
Elle change de variation à 

\alpha = \frac{-b}{2a} = \frac{-(-8)}{2 \times 8} = \frac{1}{2}

.
La valeur de l'extremum associé est:

\beta = f(\alpha) = 8\alpha^2 -8\alpha + 2 = 8(\frac{1}{2})^2 -8 \times \frac{1}{2} + 2 = 8 \times \frac{1}{4} - \frac{8}{2} + 2 = 2 - 4 + 2 = 0

.

On en déduit son tableau de variations :

On aurait pu remarquer, depuis sa forme développée, que pour tout 

x

dans 

\mathbbR

f(x) = 2(2x-1)^2

et en déduire, d'une part, que la parabole représentative admet un unique point commun avec l'axe des abscisses, dont les coordonnées sont

(\frac 1 2; 0)

et, d'autre part, que 

f(x)

est positif pour tout réel 

x

.

Ces observations permettent de conclure que le sommet de la parabole a bien pour ordonnée le minimum de la fonction et que ses coordonnées sont 

(\frac 1 2; 0)

.

Tableau de variations d'une fonction du second degré - Exemple 3

On souhaite dresser le tableau de variations de la fonction 

f

définie sur 

\mathbb{R}

par

f(x) = -x^2 +4x + 5

.

Comme

a = -1 < 0

, la fonction est croissante, puis décroissante.
Elle change de variation à 

\alpha = \frac{-b}{2a} = \frac{-4}{2 \times (-1)} = \frac{-4}{-2} = 2

.
La valeur de l'extremum associé est

\beta = f(\alpha) = -\alpha^2 +4\alpha + 5 = = -2^2 +4\times 2 + 5 = -4 + 8 + 5 = 9

.  
On en déduit son tableau de variations :

Tableau de variations d'une fonction du second degré - Exemple 4

On souhaite dresser le tableau de variations de la fonction 

f

définiesur 

\mathbb{R}

par

f(x) = x^2 -x - 1

.

Comme

a = 1 > 0

, la fonction est décroissante, puis croissante.
Elle change de variation à 

\alpha = \frac{-b}{2a} = \frac{-(-1)}{2 \times 1} = \frac{1}{2}

.
La valeur de l'extremum associé est

\beta = f(\alpha) = \alpha^2 -\alpha - 1 = (\frac{1}{2})^2 -\frac{1}{2} - 1 = \frac{1}{4} -\frac{1}{2} - 1 = -\frac{5}{4}

. 
On en déduit son tableau de variations :

De la forme canonique aux autres formes - Exemple 1

On souhaite déterminer la forme développée puis factorisée (si elle existe) de la fonction polynôme du second degré 

f

définie sur

\mathbb{R}

par

f(x) = 2(x-3)^2 - 8

.

Forme développée 
Il suffit de développer l'expression donnée.
Pour tout

x

dans

\mathbb R

, on a

f(x) = 2(x-3)^2 - 8 = 2(x^2-6x + 9) - 8 = 2x^2-12x + 18 - 8 = 2x^2-12x + 10

On obtient bien la forme développée de la fonction 

f

avec 

a = 2

,

b= -12

et

c=10

.

Forme factorisée 
En factorisant la forme canonique.
Pour tout

x

dans

\mathbb R

, on a

f(x) = 2(x-3)^2 - 8 = 2((x-3)^2 - 4) = 2((x-3)^2 - 2^2)

On reconnaît ici une identité remarquable du type

\text{A}^2-\text{B}^2

avec

\text A

et

\text B

réels. On en déduit

f(x)= 2(x-3 - 2)(x-3+2)= 2(x-5)(x-1)

.
On obtient la forme factorisée de la fonction

f

avec

a = 2

,

x_1 = 5

et

x_2 = 1

.

Remarque
On aurait pu résoudre l'équation

f(x)=0

pour déterminer les racines

x_1

et

x_2

puis utiliser la définition de la forme factorisée.

De la forme canonique aux autres formes - Exemple 2

On souhaite déterminer la forme développée puis factorisée (si elle existe) de la fonction polynôme du second degré 

f

 définie sur

\mathbb{R}

par

f(x) = 3(x + 2)^2 + 7

.

Forme développée
Il suffit de développer l'expression donnée.
Pour tout

x

dans

\mathbb R

, on a

f(x) = 3(x + 2)^2 + 7 = 3(x^2 + 4 x + 4 ) + 7 = 3x ^2+ 12 x + 12 + 7 = 3x ^2+ 12 x + 19

.
On obtient bien la forme développée de la fonction 

f

avec  

a = 3

,

b= 12

et

c=19

.

Forme factorisée 
La forme canonique est la somme de deux termes strictement positifs. Cela implique que, pour tout

x

dans

\mathbb R

,

f(x)>0

. On en déduit que la fonction polynôme du second degré n'admet pas de racines réels et,a fortiori, pas de forme factorisée. 
Si on ne s'était pas aperçu de cela, on aurait pu tenter de résoudre l'équation

f(x)=0

 : le calcul du discriminant donne

\Delta = 12^2-4\times 3 \times 19=-84<0

. L'équation n'a pas de solutions réelles et la fonction

f

n'admet pas de forme factorisée.

De la forme canonique aux autres formes - Exemple 3

On souhaite déterminer la forme développée puis factorisée (si elle existe) de la fonction polynôme du second degré 

f

 définie sur

\mathbb{R}

par

f(x) = (x+1)^2

.

Forme développée
Il suffit de développer l'expression donnée.
Pour tout

x

dans

\mathbb R

, on a

f(x) = (x+1)^2 = x^2 + 2x + 1

.
On obtient bien la forme développée de la fonction 

f

avec  

a = 1

,

b = 2

et

c = 1

.

Forme factorisée
C'est déjà la forme factorisée de la fonction

f

avec

a = 1

et

x_0 = -1

.

De la forme canonique aux autres formes - Exemple 4

On souhaite déterminer la forme développée puis factorisée (si elle existe) de la fonction polynôme du second degré 

f

 définie sur

\mathbb{R}

par

f(x) = 3,6x^2 - 7,2

.

Forme développée
C'est déjà la forme développée de la fonction

f

avec 

a = 3,6

,

b = 0

et

c=-7,2

.

Forme factorisée 
En factorisant la forme canonique.
Pour tout

x

dans

\mathbb R

, on a

f(x) = 3,6x^2 - 7,2 = 3,6(x^2 - 2) = 3,6(x - \sqrt 2)(x + \sqrt 2)

.
On obtient la forme factorisée de la fonction

f

avec

a = 3,6

,

x_1 = \sqrt 2

et

x_2 = -sqrt 2

.

Remarque
On aurait pu résoudre l'équation

f(x)=0

pour déterminer les réels

x_1

et

x_2

puis utiliser la définition de la forme factorisée.

Complétion du carré

Propriété
Soit 

s

et

p

deux réels. Pour tout 

x

dans 

\mathbb R

, on a 

x^2+sx+p=\left(x+\dfrac{s}{2}\right)^2-\dfrac{s^2}{4}+p

.

Démonstration
L'idée de la démonstration est de faire apparaître le développement de

\left(x+\dfrac{s}{2}\right)^2

. Pour ce faire, on remarque que

s=2\times \dfrac{s}{2}

et on rajoute et on enlève le réel

\left(\dfrac{s}{2}\right)^2=\dfrac{s^2}{4}

.
Pour tout

x

dans

\mathbb R

, on a

\begin{align*}x^2+sx+p & = x^2+\color{green}{2}\dfrac{s}{\color{green}2}x\color{green}{+\dfrac{s^2}{4}-\dfrac{s^2}{4}}+p \\&=\left(x+\dfrac{s}{2}\right)^2-\dfrac{s^2}{4}+p \end{align*}

Exemple
Pour tout

x

dans

\mathbb R

,

\begin{align*}x^2+2x-3 &= x^2+2x\color{green}{+1-1}-3 \\&= x^2+2x+1-4\\&=(x+1)^2-4 \end{align*}

De la forme factorisée aux autres formes - Exemple 1

On souhaite déterminer les formes développée et canonique de la fonction

f

 définie sur

\mathbb{R}

par

f(x) = 7(x-1)(x+3)

.

Forme développée
Il suffit de développer l'expression de la fonction par double distributivité.
Pour tout

x

dans

\mathbb R

, on a

f(x) = 7(x-1)(x+3) = 7(x^2 + 3x-x-3) = 7(x^2 + 2x-3) =7x^2 + 14x-21

.
On obtient bien la forme développée de la fonction 

f

avec 

a = 7

,

b = 14

et

c = -21

.

Forme canonique
Par complétion du carré, on a, pour tout

x

dans

\mathbb R

\begin{align*}f(x)&=7(x^2+2x-3) \\ & = 7(x^2+2x+1-1-3) \\&= 7(x^2+2x+1-4)\\&=7(x^2+2x+1)-28\\&=7(x+1)^2-28 \end{align*}

On reconnaît ici

\alpha=-1

et

\beta=-28

.

D'autres méthodes

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;•&nbsp;(hors programme) On repart de la forme développée et on calcule 

\alpha

et

\beta

. On a 

\alpha=-\frac{b}{2a}=-\frac{14}{2\times 7}=-1

et

\beta=-\dfrac{\Delta}{4a}=-\dfrac{14^2-4\times 7 \times (-21)}{4\times 7}=-28

. On en déduit pour tout

x

dans

\mathbb R

f(x)=7(x-(-1))^2-28=7(x+1)^2-28

.

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;•&nbsp;On aurait pu remarquer aussi que

\alpha

 est la moyenne des deux racines 

x_1

et

x_2

.

\alpha =\frac{x_1+x_2}{2} =\frac{1+(-3)}{2} =\frac{-2}{2} = -1

. On calcule

\beta

comme image de

\alpha

par

f

, on obtient

\beta=f(\alpha)=-28

, ce qui nous permet de retrouver la forme canonique.

De la forme factorisée aux autres formes - Exemple 2

On souhaite déterminer les formes développée et canonique de la fonction

f

 définie sur

\mathbb{R}

par

f(x) = -2(x-3)^2

.

Forme développée
Il suffit de développer l'expression de la fonction à l'aide d'une identité remarquable.
Pour tout

x

dans

\mathbb R

, on a

f(x) = -2(x-3)(x-3) = -2(x^2-6x + 9)= -2x^2+12x -18

.
On obtient une forme développée avec

a = -2

,

b = 12

et

c = -18

.

Forme canonique 
La forme factorisée coïncide avec la forme canoniqueavec

a = -2

,

\alpha = 3

et

\beta =0

.

De la forme factorisée aux autres formes - Exemple 3

On souhaite déterminer les formes développée et canonique de la fonction

f

 définie sur

\mathbb{R}

par

f(x) = 5x(x- 3)

.

Forme développée
Il suffit de développer l'expression de la fonction par simple distributivité.
Pour tout

x

dans

\mathbb R

, on a

f(x) = 5x(x-3) = 5x^2 - 15x

.
On obtient une forme développée avec 

a = 5

,

b = -15

et

c = 0

.

Forme canonique
Par complétion du carré on a, pour tout

x

dans

\mathbb R

\begin{align*}f(x)&=5(x^2-3x) \\ & = 5\left(x^2-3x+\dfrac{9}{4}-\dfrac{9}{4}\right) \\&= 5\left(x^2-3x+\dfrac{9}{4}\right)-\dfrac{45}{4}\\&=5\left(x-\dfrac{3}{2}\right)^2-\dfrac{45}{4} \end{align*}

On reconnaît ici

\alpha=\dfrac3 2

et

\beta=-\dfrac{45} 4

.