Propriété
On considère une fonction polynôme du second degré
définiesur
par
f(x) = ax² + bx + c
, avec
,
,
trois réels et
non nul.
• Si
> 0,
f(x)
peut s'écrire sous forme factorisée
f(x) = a(x-x_1)(x-x_2)
avec
x_1
et
x_2
les solutions de l'équation
f(x)=0
.
• Si
= 0,
f(x)
peut s'écrire sous forme factorisée
f(x) = a(x-x_0)^2
avec
x_0
la solution de l'équation
f(x)=0
.
• Si
< 0, on ne peut pas factoriser
f(x)
dans
\mathbbR
.
Exemples
1.On considère la fonction
définie sur
par
f(x) = 8(x - 9)(x+3)
.
L'équation du second degré associée admet deux solutions réelles :
et
.
2.On considère la fonction
définie sur
par
g(x) = 3x (x+12)
.
L'équation du second degré associée admet deux solutions réelles :
et
.
3.On considère la fonction
définie sur
par
h(x) = -2(x-4,5)^2
.
L'équation du second degré associée admet une unique solution réelle :
.
4.La fonction carrée
i(x) = x^2
définie sur
est sous forme factorisée avec
et
.
Factorisation - Exemple 1
On souhaite factoriser
f(x) = -x^2 +4x + 5
.
On calcule
\Delta = b^2 - 4 ac = 4^2 - 4 \times (-1) \times 5 = 16 + 20 = 36 > 0
.
La fonction s'annule donc deux foissur
en
et
.
Alors
f(x) = a(x-x_1)(x-x_2) = -1(x-5)(x-(-1)) = -(x-5)(x+1)
.
Factorisation - Exemple 2
On souhaite factoriser
f(x) = 8x^2 -8x + 2
.
On calcule
\Delta = b^2 - 4 ac = (-8)^2 - 4 \times 8 \times 2 = 64 - 64 = 0
.
La fonction
s'annule donc une unique fois sur
en
x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{(-8)}{2 times 8} = \frac{1}{2}
.
Alors
f(x) = a(x-x_0)^2 = 8(x-\frac{1}{2})^2
.
Factorisation - Exemple 3
On souhaite factoriser
f(x) = 3x^2 -2x + 1
.
On calcule
\Delta = b^2 - 4 ac = (-2)^2 - 4 \times 3 \times 1 = 4 - 12 = -8 < 0
.
Le discriminant étant strictement négatif, il n'est pas possible de factoriser cette expression.
Factorisation - Exemple 4
On souhaite factoriser
f(x) = x^2 -x - 1
.
On calcule
\Delta = b^2 - 4 ac = (-1)^2 - 4 \times 1 \times (-1) = 1 + 4 = 5 > 0
.
La fonction s'annule donc deux fois sur
en
et
.
Alors
f(x) = a(x-x_1)(x-x_2) = (x-\frac{1-\sqrt5}{2})(x-\frac{1+\sqrt5}{2})
.
Représentation graphique des fonctions polynômes du second degré - Lien avec le discriminant
Dans ce fichier de géométrie dynamique, on considère une fonction polynôme du second degré dont la forme développéeest donnée par
f(x) = a x^2 + bx + c
, avec
,
,
trois réels,
non nul. On a calculé
.
En modifiant les valeurs des curseurs
et
, on observe l'influence de ces deux paramètres sur l'allure de la parabole représentative de la fonction ainsi que sur le nombre de solutions de l'équation
f(x)=0
.
On constate notamment que :
• Lorsque
est strictement positif, la parabole a deux points d'intersections distincts avec l'axe des abscisses.
• Lorsque
est nul, la parabole et l'axe des abscisses ont un unique point commun.
• Lorsque
est strictement négatif, la parabole n'a pas de points en commun avec l'axe des abscisses.