Fractions

La division par \(\boldsymbol 0\) n'existe pas. Pourquoi?

Une division représente un partage équitable. Par exemple, diviser par 

2

 un paquet de bonbons revient à partager de manière équitable cette quantité entre 

2

 individus. Or, s'il n'y a personne, la question du partage ne se pose pas !
Définition

Une fraction est un quotient de deux nombres entiers relatifs.
Soit 

a

et

b

 deux nombres entiers relatifs, avec

b

 non nul.
Alors 

\dfrac{a}{b}

 s'appelle une fraction.

a

 est lenumérateur, 

b

 est ledénominateur.

\dfrac{a}{b}

est le nombre qui, multiplié par

b

, donne

a

.

Autrement dit, on a 

\dfrac{a}{b}\times b=a

.

Exemples

\dfrac{3}{7}\quad;\quad \dfrac{-6}{5}\quad;\quad \dfrac{1}{-4}

 sont des fractions.

\dfrac{1}{-4}=-0,25

Remarque
Les nombres 

\dfrac{0,6}{3}\quad;\quad \dfrac{7}{0,1}\quad;\quad\dfrac{2,5}{1,3}

 ne s'appellent pas des fractions, car le numérateur et le dénominateur ne sont pas tous les deux des nombres entiers relatifs. On dit que ces nombres sont desécritures fractionnaires.
Par abus de langage, on parle presque toujours de fractions.
Toutes les règles de calcul concernant les fractions restent valables pour les écritures fractionnaires.

✎ Simplification de fractions

Définition
Une fraction est diteirréductiblelorsque son numérateur et son dénominateur ont un seul diviseur commun qui est

1

.

Remarque
Si le numérateur et le dénominateur d'une fraction sont "dans une même table de multiplication", alors cette fraction n'est pas irréductible. 

Propriété
Pour tous nombres

a

,

b

et

k

 entiers relatifs tels que

b \ne 0

et

k \ne 0

, on a :

\qquad \dfrac{a \color{red}{\times k}}{b \color{red}{\times k}}=\dfrac{a}{b} \qquad

et

\qquad \dfrac{a \color{red}{\div k}}{b \color{red}{\div k}}=\dfrac{a}{b} \qquad

Remarque
Pour simplifier une fraction, il ne faut pas hésiter à décomposer son numérateur et son dénominateur sous la forme de produits, comme dans les exemples ci-dessous.

Exemples\(\qquad\dfrac{20}{15}=\dfrac{\color{red}5\times4}{\color{red}5\times3}=\dfrac{4}{3}\)  On simplifie par 

\color{red}5

.
Les nombres 

3

et

4

 n'ont pas de diviseur commun autre que

1

. Donc la fraction 

\dfrac{4}{3}

 est irréductible.

\qquad \dfrac{-81}{54}=-\dfrac{9 \times \color{red} 9}{6 \times \color{red}9}=-\dfrac{9}{6}=-\dfrac{3 \times \color{blue} 3}{2 \times \color{blue}3}=-\dfrac{3}{2}

 .
Ici, deux simplifications successives sont effectuées.
On peut aussi procéder, en une seule étape, de la manière suivante.

\dfrac{-81}{54}= -\dfrac{\color{red}{27}\times3}{\color{red}{27}\times2}=-\dfrac{3}{2}

 .
Une seule simplification par 

\color{red}{27}

 est effectuée.
La fraction 

-\dfrac{3}{2}

 est irréductible puisque les nombres 

3

et

2

 n'ont pas de diviseur commun autre que

1

.

✎ Fractions égales

Propriété

Soit

a, b

et

k

 des entiers relatifs, avec 

b\neq0

et

k\neq0

.
On a 

\dfrac{a}{b}=\dfrac{a\color{red}{\times k}}{b\color{red}{\times k}}

Autrement dit, si on multiplie le numérateur et le dénominateur d'une fraction par un même entier relatif non nul, alors on obtient une fraction égale à la fraction initiale. 

Exemples

\qquad\dfrac{1}{2}=\dfrac{1\times3}{2\times3}=\dfrac{3}{6}

\qquad\dfrac{2}{5}=\dfrac{2\times 6}{5\times 6}=\dfrac{12}{30}

Remarque

Cette propriété est, par exemple, utile pour additionner ou soustraire des fractions de dénominateurs différents.

✎ Addition et soustraction de fractions

Propriété

Pour tous nombres entiers relatifs 

a, b

et

c

, avec 

b \neq0

, on a :

\quad\dfrac{a}{b}+\dfrac{c}{b}=\dfrac{a+c}{b}\qquad\qquad\dfrac{a}{b}-\dfrac{c}{b}=\dfrac{a-c}{b}

Remarque

Dans la propriété ci-dessus, les fractions que l'on ajoute ou que l'on soustrait ontle même dénominateur!
Exemples

\qquad \dfrac{3}{5}+\dfrac{1}{5}=\dfrac{3+1}{5}=\dfrac{4}{5}\qquad\qquad\dfrac{3}{5}-\dfrac{1}{5}=\dfrac{3-1}{5}=\dfrac{2}{5}

Remarque

Lorsque les fractions n'ont pas le même dénominateur, il faut modifier l'écriture d'au moins l'une des deux afin qu'elles aient le même dénominateur.

Exemples

\(\qquad\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{6}=\dfrac{1\times 2}{3\times 2}-\dfrac{1}{6}=\dfrac{2}{6}-\dfrac{1}{6}=\dfrac{2-1}{6}=\dfrac{1}{6}\)

Ici, le dénominateur de la seconde fraction est un multiple de celui de la première. Nous n'avons donc besoin de modifier l'écriture que de la première fraction.

\(\qquad\dfrac{3}{5}+\dfrac{1}{4}=\dfrac{3\times 4}{5\times 4}+\dfrac{1\times 5}{4\times 5}=\dfrac{12}{20}+\dfrac{5}{20}=\dfrac{12+5}{20}=\dfrac{17}{20}\)

\qquad\dfrac{-5}{7}+\dfrac{1}{3}=\dfrac{-5\times 3}{7\times 3}+\dfrac{1\times 7}{3\times 7}=\dfrac{-15}{21}+\dfrac{7}{21}=\dfrac{-15+7}{21}=\dfrac{7-15}{21}=\dfrac{-8}{21}

Dans les deux exemples précédents, il est nécessaire de modifier l'écriture des deux fractions que l'on ajoute.

\(\qquad\dfrac{3}{4}+\dfrac{5}{6}=\dfrac{3\times 3}{3\times 4}+\dfrac{5\times2}{6\times2}=\dfrac{9}{12}+\dfrac{10}{12}=\dfrac{19}{12}\)

Ici, nous avons modifié l'écriture des deux fractions en utilisant le plus petit multiple commun aux nombres

4

et

6

, c'est-à-dire

12

.

Additions et soustractions de fractions

Exercice 1
Calculer et donner le résultat sous la forme d'une fraction irréductible.

\begin{array}{}A=\dfrac{1}{4}+\dfrac{3}{8}\qquad&B=\dfrac{7}{10}-\dfrac{1}{5}\qquad&C=1+\dfrac{1}{2}\\D=\dfrac{1}{2}-1\qquad&E=\dfrac{2}{3}+\dfrac{1}{6}-\dfrac{5}{12}\qquad&E=3-\dfrac{3}{4}+\dfrac{1}{8}\end{array}

Exercice 2
Calculer et donner le résultat sous la forme d'une fraction irréductible.

\begin{array}{lll}A=\dfrac{7}{6}+\dfrac{9}{4} \qquad & B=-\dfrac{4}{15}+\dfrac{3}{10} \qquad & C=\dfrac{7}{6} - \dfrac{13}{9} \\ \\D=-3+\dfrac{5}{7} \qquad & E=\dfrac{1}{2}-\dfrac{7}{3}+\dfrac{3}{4}\end{array}

✎ Multiplication et division de fractions

PropriétéMultiplier deux fractions

Pour tous nombres

a

,

b

,

c

et

d

 entiers relatifs, avec 

b \ne 0

et

d \ne 0

, on a :

\qquad \dfrac{a}{b} \times \dfrac{c}{d}=\dfrac{a \times c}{b \times d}

Exemples

\qquad \small \bullet \quad \normalsize \dfrac{-5}{7} \times \dfrac{3}{-4}=\dfrac{-5 \times 3}{7 \times (-4)}=\dfrac{-15}{-28}=\dfrac{15}{28}

\qquad \small \bullet \quad \normalsize \dfrac{12}{15} \times \dfrac{21}{14}=\dfrac{12 \times 21}{15 \times 14}=\dfrac{6 \times \color{red}2 \times \color{blue}3 \times \color{green}7}{\color{blue}3 \times 5 \times \color{green}7 \times \color{red}2}=\dfrac{6}{5}

PropriétéMultiplier une fraction par un nombre
Pour tous nombres entiers relatifs 

a,\;b,\;c

, avec \(b\ne0\), on a :

\qquad \dfrac{a}{b}\times c=c\times \dfrac{a}{b}=\dfrac{a\times c}{b}

Exemple

\quad \dfrac{-5}{8} \times 6=\dfrac{-5 \times 6}{8}=\dfrac{-5 \times \color{red} 2 \times 3}{4 \times \color{red} 2}=-\dfrac{15}{4}

PropriétéDiviser deux fractions

Pour tous nombres entiers relatifs 

a

,

b

,

c

et

d

 , avec 

b \ne 0

,

c \ne 0

et

d \ne 0

, on a donc :

\qquad \dfrac{a}{b} \div \dfrac{c}{d}=\dfrac{\dfrac{a}{b}}{\dfrac{c}{d}}=\dfrac{a}{b} \times\dfrac{d}{c}

Pour diviser la fraction

\dfrac{a}{b}

 par la fraction

\dfrac{c}{d}

, on multiplie

\dfrac{a}{b}

 par l'inverse de 

\dfrac{c}{d}

 c'est-à-dire par

\dfrac{d}{c}

.

Exemples

\qquad \small \bullet \quad \normalsize \dfrac{-5}{7} \div\dfrac{3}{4}=\dfrac{\dfrac{-5}{7}}{\dfrac{3}{4}}=\dfrac{-5}{7} \times \dfrac{4}{3}=\dfrac{-5 \times 4}{7 \times 3}=-\dfrac{20}{21}

\qquad \small \bullet \quad \normalsize \dfrac{3}{4} \div7=\dfrac{\dfrac{3}{4}}{7}=\dfrac{3}{4} \times \dfrac{1}{7}=\dfrac{3 \times 1}{4 \times 7}=\dfrac{3}{28}

\qquad \small \bullet \quad \normalsize -8 \div\dfrac{14}{-5}=\dfrac{-8}{\dfrac{14}{-5}}=-8 \times \dfrac{-5}{14} =\dfrac{-8 \times (-5)}{14}=\dfrac{\color{red}2 \times 4 \times 5}{\color{red}2 \times 7}=\dfrac{20}{7}

Multiplication et division de fractions

Calculer en détaillant les étapes et donner le résultat sous la forme d'une fraction irréductible.

\begin{array}{ll}A=\dfrac{-5}{11} \times \dfrac{3}{2} \qquad \qquad & B=-12 \times \dfrac{-7}{18} \\ \\C=\dfrac{42}{-28} \times \dfrac{-15}{-24} \qquad \qquad & D=\dfrac{-27}{24} \times \dfrac{15}{-18} \times \dfrac{8}{5} \\ \\ \end{array}

\begin{array}{ll}E=\dfrac{6}{7} \div \dfrac{3}{4} \qquad \qquad & F=\dfrac{14}{5} \div (-6) \\ \\G=-4 \div \dfrac{-36}{7} \qquad \qquad & H=\dfrac{63}{25} \div \dfrac{42}{45}\end{array}

☛ Calculer avec des fractions

 Énoncé
Calculer chacune des expressions suivantes en détaillant la démarche.

A=-\dfrac{7}{3}\times3 + 5\times\left(-\dfrac{6}{5}\right)

B =\dfrac{8}{3} - 4\times\dfrac{5}{3} + 12

C = \dfrac{1}{5}\times(-7-8)+\dfrac{2}{5}\times(7+8)

D = 1-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{5}

Solution

A=-7-6=-13

B=\dfrac{8}{3}-\dfrac{20}{3}+12=\dfrac{8-20}{3}+12=\dfrac{-12}{3}+12=-4+12=12-4=8

C=\dfrac{1}{5}\times (-15)+\dfrac{2}{5}\times 15=\dfrac{-15+30}{5}=\dfrac{15}{5}=3

D=\dfrac{60-30+20-15+12}{60}=\dfrac{47}{60}

✎ Fraction et écriture fractionnaire

✎ Simplification de fractions

✎ Fractions égales

✎ Addition et soustraction de fractions

Additions et soustractions de fractions

✎ Multiplication et division de fractions

Multiplication et division de fractions

☛ Calculer avec des fractions