Généralités sur les suites

Définitions et notations

Une suite numérique est une liste infinie de nombres réels.
À chaque élément de « place 

n

 » (

n\in\mathbb{N}

), appelé lerang, correspond un unique nombre appelétermede la suite de rang 

n

. 
On retrouve ainsi la notion de fonction numérique, mais avec une variable 

n

à valeurs entières.

Définitions

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;•&nbsp;Une fonction numérique `u` définie sur

\mathbb{N}

 (ou une partie de`\mathbb{N}`) est appelée unesuite numérique.

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;•&nbsp;Pour tout 

n\in\mathbb{N}

, les images`u(n)` sont appelées lestermes de la suiteet sont notées`u_n`(on lit « u indice n »).

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;•&nbsp;Les antécédents 𝑛, qui sont des nombres entiers, sont appelés lesrangs(ou les indices) des termes correspondants.

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;•&nbsp;Le terme

u_n

de rang 

n

 s'appelle leterme généralde la suite 

u

.

Notation
La suite 

u

se note également 

(u_n)_(n\in\mathbb{N})

ou encore  

(u(n))_(n\in\mathbb{N}]

.

RemarqueLe plus souvent,le premier terme est 

u_0

, le deuxième est 

u_1

, le troisième est 

u_2

 et ainsi de suite. Le terme 

u_n

de rang 

n

 est, dans ce cas, le 

(n+1)

e terme. 

On peut représenter une suite numérique dans un repère comme un nuage de points : pour tout 

n\in\mathbb{N}

, on place le point de coordonnées 

(n\,;u_n)

.

Exemple

Dans la figure suivante, on a représenté les premiers termes de la suite 

u

définie par

u_n=\sqrt(n)

pour tout 

n\in\mathbb{N}

.

On peut définir une suite de deux façons : 

par uneformule explicite;
par uneformule de récurrence. 

On parle du mode de génération de la suite.

Définition Suite définie à l'aide d'uneformule explicite `u_n=f(n)`

Une suite estgénérée par une formule explicitelorsque le terme 

u_n

est donné en fonction de l’entier

n\in\mathbb{N}

.

Il existe une fonction 

f

, définie sur un intervalle 

I

de

\mathbb{R}

, et 

n

 un entier naturel tels que le terme de rang 

n

de la suite 

u

est l'image de 

n

par la fonction

f

, soit

u_n=f(n)

.

DéfinitionSuite définie à l'aide d'uneformule de récurrence `u_(n+1)=f(u_n)`

Une suite estgénérée par une formule de récurrence lorsque :
1.son premier terme est donné et noté

u_(n_0)

 avec 

n_0\in\mathbb{N}

,
2.une relation permet de calculer chaque terme à partir du précédent (ou des précédents).
La relation est appeléerelation de récurrence.

Il existe une une fonction

f

définie sur un intervalle 

I

de

\mathbb{R}

telle que 

f(I)\subsetI

et

n

 un entier naturel de sorte que le terme de rang 

n+1

de la suite 

u

est l'image de

u_n

par la fonction

f

, soit 

u_(n+1)=f(u_n)

.

Remarques

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;•&nbsp;Lorsqu'une suite est définie par une formule explicite, il est possible de calculer chaque terme 

u_n

en fonction de son rang 

n

. Alors que, si elle est définie à l'aide d'une relation de récurrence, calculer le terme 

u_n

 de rang 

n

 nécessite de connaître le terme précédent 

u_(n-1)

 et tous ses prédécesseurs. 

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;•&nbsp;La relation de récurrence peut faire intervenir plusieurs termes précédents et la variable 

n

.

Déterminer les termes d'une suite explicite avec la calculatrice TEXAS INSTRUMENTS