Aire et intégrale
Définition
Soit
et
deux réels tels que
Définition
Soit
et
deux réels tels que
Exemples
1.Dans un repère orthogonal du plan, l'aire sous la courbe de la fonction carré entre
et
est, en unité d'aire,
.
2.Dans un repère orthogonal du plan, l'intégrale
\displaystyle \int_{0}^\sqrt 5 x^3\text d x
représente l'aire sous la courbe de la fonction cube entre
et
, en unité d'aire.
Notation intégrale - Remarques
- La notation de l'intégrale est due au mathématicien allemandGottfried Wilhelm von Leibniz (1646-1716). Ce symbole fait penser à un « S » allongé et s’explique par le fait que l'intégrale est une aire calculée comme somme infinie d'aires. Plus tard, un second mathématicien allemand,Bernhard Riemann (1826-1866) établit une théorie aboutie du calcul intégral.
- Les nombres\(a\)et\(b\)sont appelés les bornes de l'intégrale\(\displaystyle \int_a^b f(x)\text d x\).
- L'intégrale \(\displaystyle \int_a^b f(x)\text d x\)ne dépend que de\(a\),\(b\)et\(f\).
- \(x\)est la variable d’intégration. On dit que\(x\)est une variable muette ; elle peut être remplacée par toute autre lettre qui n’intervient pas dans les calculs.L'intégrale\(\displaystyle \int_a^b f(x)\text d x\)peut donc aussi s'écrire, par exemple,\(\displaystyle \int_a^b f(t)\text d t\).
- La notation\(\text dx\)s'appelle parfois « accroissement infinitésimal de la variable\(x\) » et représente, dans la notation d'une intégrale, la largeur (infiniment petite) d'un rectangle de hauteur\(f(x)\).Ainsi, la notation intégrale\(\displaystyle \int_a^b f(x)\text d x\)représente la sommation, sur l'intervalle\([a~;~b]\), d'une infinité de rectangles de largeur infiniment petite\(\text dx\)et de hauteur\(f(x)\).
Cas particulier des fonctions constantes
Propriété
Le plan est muni d'un repère orthogonal. Soit
et
deux réels tels que
Démonstration
Le plan est muni d'un repère orthogonal. Soit
et
deux réels tels que
Exemples
1.
.
2.Soit
un réel positif. On a
. En effet, pourtout
réel positif donné, la fonction
est une fonction constante par rapport à
.