Notations
On dispose des
symboles suivants.
En lisant de la gauche vers la droite :
- \(<\) signifie "est strictement inférieur à" ;
- \(>\) signifie "est strictement supérieur à" ;
- \(\leq\) signifie "est inférieur ou égal à" ;
- \(\geq\) signifie "est supérieur ou égal à".
Exemples
- \(6>2\) se lit "\(6\) est strictement supérieur à \(2\)".
- \(\dfrac{1}{2}<\dfrac{3}{4}\) se lit "\(\dfrac{1}{2}\) est strictement inférieur à \(\dfrac{3}{4}\)".
- \(-5<0\) se lit "\(-5\) est strictement inférieur à\(0\) " qui se lit aussi "\(-5\) est strictement négatif".
- \(-5\leq0\) se lit "\(-5\) est inférieur ou égal à \(0\) " qui se lit aussi "\(-5\) est négatif ou nul".
- \(x>0\) se lit "\(x\) est strictement positif".
Intervalles - Définition
Définition
Un intervalle de
est une partie (un sous-ensemble) de l'ensemble des nombres réels.
Notation
Un intervalle se note entre crochets.
Remarque
On a :
.
se lit "moins l'infini" et
se lit "plus l'infini".
Intervalles ayant une extrémité
Définitions et notations
Soit
un réel.
- L'intervalle noté\(\left]-\infty;a\right]\) est l'ensemble des nombres réels \(x\) tels que \(x\leq a\).L'extrémité \(a\) fait partie de l'intervalle.
- L'intervalle noté\(\left]-\infty;a\right[\) est l'ensemble des nombres réels \(x\) tels que \(x< a\).L'extrémité \(a\) ne fait pas partie de l'intervalle.
- L'intervalle noté\(\left[a;+\infty\right[\) est l'ensemble des nombres réels \(x\) tels que \(x\geq a\).L'extrémité \(a\) fait partie de l'intervalle.
- L'intervalle noté\(\left]a;+\infty\right[\) est l'ensemble des nombres réels \(x\) tels que \(x> a\).L'extrémité \(a\) ne fait pas partie de l'intervalle.
Notation
et
.
Exemples
Sur la droite graduée ci-dessous, l'intervalle
est représenté en rouge.
Intervalles ayant deux extrémités
Définitions et notations
Soit
et
avec
.
- L'intervalle noté\(\left[a;b\right]\) est l'ensemble des nombres réels \(x\) tels que \(a\leq x\leq b\).Les extrémités \(a\) et\(b\) font partie de l'intervalle.
- L'intervalle noté\(\left]a;b\right[\) est l'ensemble des nombres réels \(x\) tels que \(a<x< b\).Les extrémités \(a\) et\(b\) ne font pas partie de l'intervalle.
- L'intervalle noté\(\left[a;b\right[\) est l'ensemble des nombres réels \(x\) tels que \(a\leq x< b\).L'extrémité \(a\) fait partie de l'intervalle mais l'extrémité\(b\) ne fait pas partie de l'intervalle.
- L'intervalle noté\(\left]a;b\right]\) est l'ensemble des nombres réels \(x\) tels que \(a<x \leq b\).L'extrémité \(b\) fait partie de l'intervalle mais l'extrémité\(a\) ne fait pas partie de l'intervalle.
Exemples
- Sur la droite graduée ci-dessous, l'intervalle\([-4;5[\) est représenté en rouge.\(\qquad x\in[-4;5[ \iff -4\leq x<5\)
\quad -4
fait partie de l'intervalle mais pas
5
.
- Sur la droite graduée ci-dessous, l'intervalle`]2;4]`est représenté en rouge.
L'intervalle
]2;4]
est l'ensemble des nombres réels
x
tels que
2<x\leq4
Il contient
4
mais ne contient pas
2
.
Centre et rayon d'un intervalle
Définitions
Soit
deux nombres réels avec
.
- Lecentredes intervalles \([a;b]\;;\;]a;b[\;;\;[a;b[\;;\;]a;b]\) est le nombre réel \(\dfrac{a+b}{2}\).
- Lerayondes intervalles \([a;b]\;;\;]a;b[\;;\;[a;b[\;;\;]a;b]\) est le nombre réel positif \(\dfrac{b-a}{2}\).
Exemples
- Considérons l'intervalle \([-3;5[\).Alors son centre est \(\dfrac{-3+5}{2}=\dfrac{2}{2}=1\) et son rayon est \(\dfrac{5-(-3)}{2}=\dfrac{8}{2}=4\)
- Considérons l'intervalle \(\left[\dfrac{1}2{;6}\right]\).Alors son centre est \(\dfrac{\dfrac{1}{2}+6}{2}=\dfrac{\dfrac{13}{2}}{2}=\dfrac{13}{4}=3,25\) et son rayon est \(\dfrac{6-\dfrac{1}{2}}{2}=\dfrac{\dfrac{11}{2}}{2}=\dfrac{11}{4}=2,75\).
Intersection et réunion d'intervalles
Définition
On considère
deux intervalles de
.
L'intersectiondes intervalles
, notée
, est l'ensemble des nombres réels qui se trouvent à la fois dans les intervalles
et
.
Exemples
- Soit \(I=[-1;3]\) et \(J=[2;4]\).
L'intervalle
est représenté en bleu et l'intervalle
en rouge. La partie de la droite graduée qui est coloriée des deux couleurs en même temps représente l'intersection des intervalles
et
.
On a ainsi
.
- \(]-\infty;1]\cap [-3;8]=[-3;1]\)
- \([-2;3[\cap ]4;15]=\emptyset\) . L'intersection des deux intervalles est vide. Il n'y a aucun nombre réel qui se trouve à la fois dans l'intervalle \([-2;3[\) et dans l'intervalle \(]4;15]\). On dit que les intervalles sont disjoints.
- \(]-\infty;3]\cap [3;+\infty[=\{3\}\). L'intersection des deux intervalles est réduite à un point.
Définition
On considère
deux intervalles de
.
Laréuniondes intervalles
, notée
, est l'ensemble des nombres réels qui se trouvent dans l'un au moins des intervalles
.
Exemples
- Soit\(I=[-1;3]\) et \(J=[2;4]\).
L'intervalle
est représenté en bleu et l'intervalle
en rouge. La partie de la droite graduée qui est coloriée d'au moins une couleur représente la réunion des intervalles
et
.
On a alors
.
- \(]-\infty;1]\cup [-3;8]=]-\infty;8]\)
- \(]-\infty;3]\cup [3;+\infty[=\mathbb{R}\)
- \([-2;3[\cup ]4;15]\). Cette réunion ne peut pas s'écrire sous la forme d'un seul intervalle puisque les deux intervalles sont disjoints (leur intersection est vide).
Inéquation
Définition
Soit
et
deux nombres réels avec
.
Une inéquation linéaire du premier degré, d'inconnue
, est de la forme
ou
ou
ou
.
Méthode
Résoudre une inéquation, c'est déterminer toutes les valeurs de l'inconnue qui rendent vraie l'inégalité.
Pour résoudre une inéquation, on utilise les propriétés suivantes.
Propriété 1
Si l'on ajoute ou on soustrait, membre à membre, un même nombre aux deux nombres d'une inégalité, celle-ci ne change pas de sens. Autrement dit, soit
trois réels :
Propriété 2
- Si l'on multiplie les deux membres d'une inégalité par un même nombrestrictement positif, l'inégalité ne change pas de sens.Autrement dit,\(a\;;b\;\)deux réels et\(\;k\)un réel strictement positif :\(a\leq b \Leftrightarrow a\times k\leq b \times k\).
- Si l'on multiplie les deux membres d'une inégalité par un même nombrestrictement négatif, l'inégalité change de sens.Autrement dit,\(a\;;b\;\)deux réels et\(\;k\)un réel strictement négatif :\(a\leq b \Leftrightarrow a\times k\color{red}\geq b \times k\).
Exemple 1
Résolvons dans
l'inéquation
.
On ajoute
à chaque membre de l'inégalité.
On a alors :
Ce qui équivaut à
.
On divise chaque membre de l'inégalité par
(qui est un nombre strictement positif). On a alors :
Ce qui équivaut à
Donc l'ensemble des solutions est l'intervalle
.
.
Exemple 2
Résolvons dans
l'inéquation
.
On soustrait
à chaque membre de l'inégalité.
On a alors :
.
Ce qui équivaut à
.
On ajoute
à chaque membre de l'inégalité.
On a alors :
Ce qui équivaut à
.
On divise chaque membre de l'inégalité par
(qui est un nombre strictement négatif).
Attention l'inégalité change de sens.
On a alors :
ce qui équivaut à
.
Donc l'ensemble des solutions est l'intervalle
.
.
Autre méthode
On peut aussi procéder de la manière suivante.
.