Le rectangle d'or
L'objectif de cette activité est d'étudier les proportions du rectangle appelé «
rectangle d'or
» .
Question préliminaire
Résoudre l’équation
x^2-x-1=0
.
Donner les valeurs exactes de ses solutions ainsi que les valeurs approchées à
10^-3
près.
Partie A - Étude du rectangle d'or
Soit
\text{ABCD}
un rectangle, non aplati, de longueur
L
et largeur
.
Soit
\text{EBCF}
le rectangle obtenu en retirant le carré de coté
(voir figure ci-dessous).
On dit que
est un rectangle d’or si on a
\frac{\text{AB}}{\text{AD}}=\frac{\text{BC}}{\text{FC}}
.
1.Démontrer que si
\text{ABCD}
est un rectangle d’or alors on a
.
2.Soit
. Démontrer que l’égalité établie à la question précédente est équivalente à
x^2-x-1=0
. On obtient donc une équation du second degré.
3.Résoudre l'équation précédente. La solution positive de cette équation s’appelle nombre d’or et on l’indique souvent avec la lettre grecque
\phi
. Donner la valeur exacte de
\phi
puis une valeur approchée à
près.
Partie B - Application(d'après le sujet national d'Olympiades 2024 de première)
Considérons deux rectangles identiques
\text{ABCD}
et
de longueur
L
et largeur
disposés comme dans la figure ci-dessous. Démontrer que les points
sont alignés lorsque
est le nombre d'or.