On considère le cube
d'arête
.
On appelle
le point d'intersection du plan
avec la droite
.
L'espace est rapporté au repère orthonormé
.
1. Donner dans ce repère les coordonnées des points
,
,
.
2. Déterminer une représentation paramétrique de la droite
.
3. Démontrer que la droite
est orthogonale au plan
.
4. a. Justifier qu’une équation cartésienne du plan
est
.b. Montrer que le point
a pour coordonnées
.c. En déduire que la distance du point
au plan
est égale à
.
5. a. Démontrer que le triangle
est équilatéral.b. Calculer l’aire du triangle
. On pourra utiliser le point
, milieu du segment
.
6. Justifier que le volume du tétraèdre\(\mathrm{EGBD}\)est égal à
.
On rappelle que le volume d'un tétraèdre est donné par\(V = \dfrac13 Bh\)où
est l'aire d'une base du tétraèdre et
est la hauteur relative à cette base.
Un calcul d'aire - Nouvelle-Calédonie, août 2023
On considère le cube
d'arête\(1\)représenté ci-dessous.
On note
le milieu du segment
.
On se place dans le repère orthonormé
.
1. Justifier que les points
,
et
définissent un plan.
2. a. Donner, sans justifier, les longueurs
,
et
.b. Calculer l'aire du triangle
.c. Calculer le volume du tétraèdre
.
On rappelle que le volume\(V\) d'un tétraèdre est donné par : \(V = \dfrac13\mathcal{B} \times h\), où \(\mathcal B\) est l’aire d’une base et\(h\)la hauteur correspondante.
3. a.On note
le vecteur de coordonnées
. Démontrer que
est normal au plan
.b.En déduire qu'une équation cartésienne du plan
est
.
4. On note
la droite passant par le point
et orthogonale au plan
. Démontrer qu’une représentation paramétrique de la droite
est
avec
.
5. Soit
le point d’intersection entre la droite
et le plan
.a. Déterminer les coordonnées du point
.b. En déduire que
.
6. En utilisant la question2., déterminer la valeur exacte de l'aire du triangle
.
Perpendiculaire commune - Polynésie, mars 2023
L'espace est muni d'un repère orthonormé
. On considère :
la droite passant par le point
et de vecteur directeur
;
la droite de représentation paramétrique
où
.
Le but de cet exercice est de déterminer une représentation paramétrique d'une droite
qui soit perpendiculaire aux droites
et
.
1. a.Déterminer un vecteur directeur
de la droite
.
b.Démontrer que les droites
et
ne sont pas parallèles.
c.Démontrer que les droites
et
ne sont pas sécantes.
d. Quelle est la position relative des droites
et
?
2. a.Vérifier que le vecteur
est orthogonal à
et à
.
b.On considère le plan
passant par le point
et dirigé par les vecteurs
et
.
On admet qu'une équation cartésienne de ce plan est :
.
Démontrer que l'intersection du plan
et de la droite
est le point
.
3.Soit
la droite de vecteur directeur
passant par le point
. Une représentation paramétrique de
est donc donnée par :
où
.
a.Justifier que les droites
et
sont perpendiculaires en un point
dont on déterminera les coordonnées.
b.Expliquer pourquoi la droite
est solution du problème posé.
Avec une sphère - Amérique du Sud, septembre 2023
L'espace est muni d'un repère orthonormé
. On considère les points :
,
,
et
.
1. Démontrer que les points
,
et
définissent un plan.
2. a. Démontrer que le vecteur
est normal au plan
.
b. Justifier qu'une équation cartésienne du plan
est
.
3. a. Justifier que le point
n'appartient pas au plan
.b. Déterminer les coordonnées du point
, projeté orthogonal du point
sur le plan
.
On admet que
.
On définit la sphère
de centre
et de rayon
comme l'ensemble de tous les points
de l'espace tels que
.
4. Justifier, sans calcul, que tout point
du plan
, distinct de
, n'appartient pas à la sphère
.
On dit qu'un plan
est tangent à la sphère
en un point
lorsque les deux conditions suivantes sont vérifiées :
5.Soit le plan
d'équation cartésienne
et le point
de coordonnées
. Démontrer que le plan
est tangent à la sphère
au point
.
6. On admet que les plans
et
sont sécants selon une droite
. Déterminer une équation paramétrique de la droite
.