On considère la fonction
définie sur
par :
.
On note
sa courbe représentative dans un repère orthogonal du plan.
On nomme
le point de coordonnées
et
le point de coordonnées
.
On a tracé ci-dessous la courbe
et
la tangente à la courbe
au point d’abscisse
.
Partie A - Lectures graphiques
Dans cette partie, les résultats seront obtenus par lecture graphique. Aucune justification n’est demandée.
1.Déterminer l’équation réduite de la tangente
.
2.Donner les intervalles sur lesquels la fonction
semble convexe ou concave.
Partie B - Étude de la fonction
1.On admet que la fonction
est dérivable sur
. Déterminer l’expression de sa fonction dérivée
.
2.Justifier que la fonction
est strictement croissante sur
.
Partie C - Tangente et convexité
1.Déterminer par le calcul une équation de la tangente
à la courbe
au point d’abscisse
.
On admet que la fonction
est deux fois dérivable sur
. On note
la fonction dérivée seconde de la fonction
.
On admet que
est définie sur
par :
.
2.Étudier le signe de la fonction
sur
.
3. a.Indiquer, en justifiant, sur quel(s) intervalle(s) la fonction
est convexe.b.Que représente le point
pour la courbe
?c.En déduire la position relative de la tangente
et de la courbe
. Justifier la réponse.
Amérique du Nord, mars 2023 (partiel)
Partie A
Le plan est muni d’un repère orthogonal.
On considère une fonction
définie et dérivable sur
. On note
sa fonction dérivée. On donne ci-dessous la courbe représentative de la fonction dérivée
.
Dans cette partie, les résultats seront obtenus par lecture graphique de la courbe représentative de la fonction dérivée
. Aucune justification n’est demandée.
1.Donner le sens de variation de la fonction
sur
. On utilisera des valeurs approchées si besoin.
2.Donner les intervalles sur lesquels la fonction
semble être convexe.
Partie B
On admet que la fonction
de la partie
est définie sur
par
.
On note
la courbe représentative de la fonction
dans un repère.
1.Montrer que, pour tout réel
, on a
.
2.En déduire le sens de variation de la fonction
.
3.Déterminer l’équation réduite de la tangente
à la courbe
au point d’abscisse
.
On admet que la fonction
est deux fois dérivable sur
. On note
la fonction dérivée seconde de la fonction
. On admet que, pour tout réel
, on a
.
4. a.Étudier la convexité de la fonction
sur
.b.Montrer que, pour tout
appartenant à l’intervalle
, on a
.
Des QCM
Cet exercice est un questionnaire à choix multiples.
Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte.
1.On considère la fonction
h
définie sur
\mathbb{R}
par :
h(x) = (4x − 16)\text{e}^{2x}
. On note
la courbe représentative de
dans un repère orthogonal. On peut affirmer que :
a.h est convexe sur
\mathbb{R}
.
b.
possède un point d’inflexion en
.
c.
est concave sur
.
d.
possède un point d’inflexion en
.
2.On considère une fonction
définie et dérivable sur
. Le tableau de variations
de la fonction
dérivée de la fonction
sur l’intervalle
est donné :La fonction
est :
a.convexe sur
.
b.concave sur
.
c.convexe sur
.
d.concave sur
.
3. On donne ci-dessus la courbe représentative de la dérivée
d’une fonction
définie
sur l’intervalle
.
Par lecture graphique de la courbe de
, déterminer l’affirmation correcte pour
:
a.
est décroissante sur
.
b.
est décroissante sur
.
c.
admet un maximum en
sur
.
d.
admet un maximum en
sur
.
4.Soit
une fonction deux fois dérivable sur l'intervalle
. On donne ci-dessous la représentation graphique de sa fonction dérivée seconde
. On peut alors affirmer que :
a.La fonction
est convexe sur l'intervalle
.
b.La fonction
est concave sur l'intervalle
.
c.La fonction
est décroissante sur l'intervalle
.
d.La fonction
admet un maximum en
.