Dans une boulangerie, les baguettes sortent du four à une température de
225
°C.
On s'intéresse à l'évolution de la température d'une baguette après sa sortie du four.
On admet qu'on peut modéliser cette évolution à l'aide d'une fonction
définie et dérivable sur l'intervalle
.
Dans cette modélisation,
représente la température en degrés Celsius de la baguette au bout de la durée
, exprimée en heures, après la sortie du four.
Ainsi,
représente la température d'une baguette une demi-heure après la sortie du four.
Dans tout l'exercice, la température ambiante de la boulangerie est maintenue à
°C.
On admet alors que la fonction
est solution de l'équation différentielle
.
1. a.Préciser la valeur de
.b.Résoudre l'équation différentielle
.c.En déduire que, pour tout réel
, on a
.
2.Par expérience, on observe que la température d'une baguette sortant du four :
- décroît ;
- tend à se stabiliser à la température ambiante.
La fonction
fournit-elle un modèle en accord avec ces observations ?
3.Montrer que l'équation
admet une unique solution dans
.
Pour mettre les baguettes en rayon, le boulanger attend que leur température soit inférieure ou égale à
°C. On note
le temps d'attente minimal entre la sortie du four d'une baguette et sa mise en rayon.
On donne ci-dessous la représentation graphique de la fonction
dans un repère orthogonal.
4. Avec la précision permise par le graphique, lire
. On donnera une valeur approchée de
sous forme d'un nombre entier de minutes.
5.On s'intéresse ici à la diminution, minute après minute, de la température d'une baguette à sa sortie du four.
Ainsi, pour un entier naturel
,
désigne la diminution de température en degré Celsius d'une baguette entre la
-ième et la
-ième minute après sa sortie du four.
On admet que, pour tout entier naturel
,
.a.Vérifier que
est une valeur approchée de
à 0,1 près, et interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.b.Vérifier que l'on a, pour tout entier naturel
,
. En déduire le sens de variation de la suite
, puis la limite de la suite
. Ce résultat était-il prévisible dans le contexte de l'exercice ?
Asie, juin 2021
Partie I
Considérons l'équation différentielle
, où
désigne une fonction de la variable
, définie et dérivable sur
.
1. a.Déterminer une solution particulière constante de cette équation différentielle. b.En déduire l'ensemble des solutions de cette équation différentielle.c.Déterminer la fonction
, solution de cette équation différentielle, qui vérifie
.
Partie II
Soit
la fonction définiesur l'intervalle \([0~; + \infty[\)par
. On admet que
est dérivable sur\([0~; + \infty[\).
1.Déterminer la limite de
en
.
2.Montrer que
pour tout
.
3. a. Montrer que l'équation
admet une unique solution
sur
.b.Déterminer une valeur approchée de
à
près à l'aide d'une calculatrice.
Partie III
1.
désigne la fonction de la Partie II. Vérifier que
est solution de l'équation différentielle
avec la condition initiale
où
désigne une fonction définie et dérivable sur
.
2.Dans un pays en voie de développement, en l'année
,
% des écoles ont accès à Internet.
Une politique volontariste d'équipement est mise en œuvre et on s'intéresse à l'évolution de la proportion des écoles ayant accès à Internet.
On note
le temps écoulé, exprimé en année, depuis l'année
.
La proportion des écoles ayant accès à Internet à l'instant
est modélisée par\(p(t)\).
Interpréter dans ce contexte la limite de la questionII.1.puis la valeur approchée de
de la questionII.3.b. ainsi que la valeur
.
Centres étrangers, juin 2021
Partie A - Détermination d'une fonction\(f\)et résolution d'une équation différentielle
On considère la fonction
définie sur
par
, où
et
sont des nombres réels que l'on propose de déterminer dans cette partie.
Dans le plan muni d'un repère d'origine
, on areprésentéci-dessous la courbe
, représentant la fonction
, et la tangente
à la courbe
au point d'abscisse
.
1.Par lecture graphique, donner les valeurs de
et de
.
2.En utilisant l'expression de la fonction
, exprimer
en fonction de
et en déduire la valeur de
.
3.On admet que la fonction
est dérivable sur
et on note
sa fonction dérivée.a.Donner, pour tout réel
, l'expression de
.b.Exprimer
en fonction de
.c.En utilisant les questions précédentes, déterminer
, puis en déduire l'expression de
.
4.On considère l'équation différentielle
:
.a.Vérifier que la fonction
définie sur
par
est solution de l'équation
.b.Résoudre l'équation différentielle
.c.En déduire toutes les solutions de l'équation
.
Partie B-Étude de la fonction g sur\([1~;+\infty[\)
1.Vérifier que, pour tout réel
, on a
.
2.En déduire une expression factorisée de
, pour tout réel
.
3.On admettra que, pour tout
,
. Étudier le sens de variation de la fonction
sur \([1~;+\infty[\).
Polynésie, juin 2021
Cet exercice est composé de trois parties indépendantes.
On a représenté ci-dessous, dans un repère orthonormé, une portion de la courbe représentative
d'une fonction
définie sur
.
On considère les points
et
.
Partie 1
Sachant que la courbe
passe par
et que la droite
est la tangente à la courbe
au point
, donner par lecture graphique les éléments suivants.
1.La valeur de
et celle de
.
2.Un intervalle sur lequel la fonction
semble convexe.
Partie 2
On note
l'équation différentielle
.
On admet que
est une solution particulière de
.
1.Donner toutes les solutions sur
de l'équation différentielle
.
2.En déduire toutes les solutions sur
de l'équation différentielle
.
3.Sachant que la fonction
est la solution particulière de
qui vérifie
, déterminer une expression de
en fonction de
.
Partie 3
On admet que, pour tout nombre réel
,
.
1.On rappelle que
désigne la fonction dérivée de la fonction
.a.Montrer que, pour tout
,
.b. Étudier le signe de
pour tout \(x \in \mathbb R\)et dresser le tableau des variations de
sur
. On ne précisera ni la limite de
en
ni la limite de
en
. On calculera la valeur exacte de l'extremum de
sur
.
2.On rappelle que
désigne la fonction dérivée seconde de la fonction
.a.Calculer, pour tout \(x \in \mathbb R\),
.b.Peut-on affirmer que
est convexe sur l'intervalle
?
Métropole, juin 2021
On considère l'équation différentielle
.
On cherche l'ensemble des fonctions définies et dérivables sur l'ensemble
des nombres réels qui sont solutions de cette équation.
1. Soit
la fonction définie sur
par
. On admet que
est dérivable et on note
sa fonction dérivée. Démontrer que
est une solution particulière de
.
2.Soit
une fonction définie et dérivable sur
. On note
la fonction définie sur
par
.a.Démontrer que si la fonction
est solution de l'équation différentielle
alors la fonction
est solution de l'équation différentielle
. On admet que la réciproque de cette propriété est également vraie.b. À l'aide de la résolution de l'équation différentielle
, résoudre l'équation différentielle
.
3.Étude de la fonction
.a.Étudier le signe de
pour \(x\)variant dans
.b.Dresser le tableau de variations de la fonction
sur
(les limites ne sont pas demandées).c.Déterminer le plus grand intervalle sur lequel la fonction
est concave.
Sujet 0, 2024
L'exercice est constitué de deux parties indépendantes.
Partie I
On considère l'équation différentielle
.
1. Soit
la fonction définie sur
par
. Vérifier que la fonction
est une solution de l'équation différentielle
.
2.On considère l'équation différentielle
. Résoudre l'équation différentielle
sur
.
3.En déduire toutes les solutions de l'équation différentielle
sur
.
4.Déterminer l'unique solution
de l'équation différentielle
telle que
.
Partie II
Dans cette partie,
est un nombre réel fixé que l'on cherche à déterminer.
On considère la fonction
définie sur
par :
.
Soit
la fonction définie sur
par
.
On note
la courbe représentative de la fonction
dans un repère orthogonal et
la courbe représentative de la fonction
.
On a représenté sur le graphique en annexe les courbes
et
sans indiquer les unités sur les axes ni le nom des courbes.
1.Sur le graphique ci-dessous à rendre avec la copie, l'une des courbes est en rouge, l'autre est en bleu. Laquelle est la courbe
?
2.En expliquant la démarche utilisée, déterminer la valeur du nombre réel
et placer sur le graphique l'unité sur chacun des axes du graphique.