Limite en l'infini

Limite infinie

Définitions

Soit 

\alpha

 un réel et

f

 une fonction définie sur

[\alpha~\ ;\ +\infty[

.

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;•&nbsp;Si tout intervallede la forme

[A\ ;+\infty[

(où\(A\)est un réel) contient toutes les valeurs de

f(x)

pour 

x

suffisamment grand, on dit que

f

a pour limite

+\infty

en

+\infty

 et on écrit

\lim\limits_{x \to +\infty}f(x)=+\infty

.

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;•&nbsp;Si tout intervalle de la forme

]-\infty \ ; \ A]

 (où

A

 est un réel) contient toutes les valeurs de

f(x)

pour 

x

suffisamment grand, on dit que

f

a pour limite

-\infty

en

+\infty

 et on écrit

\lim\limits_{x \to +\infty}f(x)=-\infty

.

Définitions

Soit 

\alpha

 un réel et

f

 une fonction définie sur

]-\infty\ ;\alpha]

.

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;•&nbsp;Si tout intervalle de la forme

[A\ ;+\infty[

(où\(A\)est un réel) contient toutes les valeurs de

f(x)

 pour 

x

prenant des valeurs négatives de valeur absolue suffisamment grande, on dit que

f

 a pour limite

+\infty

en

-\infty

 et on écrit

\lim\limits_{x \to -\infty}f(x)=+\infty

.

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;•&nbsp;Si tout intervalle de la forme

]-\infty \ ; \ A]

 (où

A

 est un réel) contient toutes les valeurs de

f(x)

pour

x

prenant des valeurs négatives de valeur absolue suffisamment grande, on dit que 

f

a pour limite

-\infty

en

-\infty

  et on écrit

\lim\limits_{x \to -\infty}f(x)=-\infty

.

PropriétéFonctions affines

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;•&nbsp;Si

m>0

et

p \in \mathbb{R}

, alors

\lim\limits_{x \to -\infty}(mx+p)=-\infty

et

\lim\limits_{x \to +\infty}(mx+p)=+\infty

.

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;•&nbsp;Si

m<0

et

p \in \mathbb{R}

, alors

\lim\limits_{x \to -\infty}(mx+p)=+\infty

et

\lim\limits_{x \to +\infty}(mx+p)=-\infty

.

Exemples

\lim\limits_{x \to -\infty}(4x-9)=-\infty

et

\lim\limits_{x \to +\infty}(4x-9)=+\infty

.

\lim\limits_{x \to -\infty}(-3x+7)=+\infty

et

\lim\limits_{x \to +\infty}(-3x+7)=-\infty

.

PropriétéFonctions puissances

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;•&nbsp;Si

n

 est un entier naturel pair non nul, alors

\lim\limits_{x \to -\infty}x^n=+\infty

et

\lim\limits_{x \to +\infty}x^n=+\infty

.

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;•&nbsp;Si

n

 est un entier naturel impair, alors

\lim\limits_{x \to -\infty}x^n=-\infty

et

\lim\limits_{x \to +\infty}x^n=+\infty

.

Exemples

\lim\limits_{x \to -\infty}x^2=+\infty

et

\lim\limits_{x \to +\infty}x^2=+\infty

.

\lim\limits_{x \to -\infty}x^5=-\infty

et

\lim\limits_{x \to +\infty}x^5=+\infty

.

PropriétéFonction racine carrée

\lim\limits_{x \to +\infty}\sqrt{x}=+\infty

Lien avec les suites