Méthode d'Archimède

Activité complète

Énoncé

Dans ses travaux, Archimède de Syracuse propose une méthode d'approximation du nombre

\pi

. Il considère les suites de polygones réguliers inscrits et circonscrits dans un cercle de rayon 

1

et il en calcule les demi-périmètres. Pour un nombre de côtés fixés

n

, il encadre ainsi le nombre 

\pi

: 
demi-périmètre du polygone inscrit

<\pi<

demi-périmètre du polygone circonscrit.

 Archimède traite exclusivement les cas des polygones réguliers à 

n=3 \times 2^m

côtés, 

m

étant un entier naturel. Pour 

m=5

(c'est-à-dire en considérant les polygones réguliers à 96 côtés), on obtient le célèbre encadrement 

\dfrac{223}{71}<\pi<\dfrac{22}{7 }

. 
Dans cette activité, nous allons tenter de retrouver cet encadrement à l'aide de la trigonométrie (qu'Archimède ne connaissait pas !).

Questions

Partie A - Observation de la méthode

Ce fichier de géométrie dynamique montre la suite des polygones réguliers inscrits dans un cercle de rayon

1

et affiche le demi-périmètre pour chaque polygone. En faisant bouger le curseur

n

correspondant au nombre de côtés du polygone régulier inscrit, observer la suite des demi-périmètre.

Expliquer pourquoi les demi-périmètres s'approchent de plus en plus du nombre

\pi

. Qu'en serait-il si le rayon était égal à

2

? Et pour un rayon

r

?

Partie B - Le cas des hexagones

Soit

\text{ABCDEF}

et

\text{A'B'C'D'E'F'}

les hexagones respectivement inscrit et circonscrit à un cercle de centre 

\text O

et de rayon

1

de sorte que les points

\text{O, A, A'}

sont alignés (et par conséquent tous les autres triplets correspondants aussi) comme illustré dans la figure suivante. La perpendiculaire à

(\text{AB})

passant par

\text O

coupe

\text {[AB]}

en

\text I

et

\text {[A'B']}

en

\text I'

.

Partie C - Cas général

Soit 

n

, avec

n\geqslant 3

, le nombre de côtés des polygones réguliers inscrits et circonscrits au cercle de centre

\text O

et rayon

1.

De manière analogue au cas des hexagones, on considère les triangles isocèles

\text{AOB}

et

\text{A'OB'}

.
1.Expliquer pourquoi la mesure en degrés de l'angle

\widehat{\text{IOA}}

s'exprime, en fonction de 

n

, par

\alpha(n)=\dfrac{180^\circ}{n}

.
2.En déduire

\text{AB}=2 \text{sin} (\alpha(n))

puis

\text{A'B'}=2 \dfrac{\text{sin}(\alpha(n))}{{\text{cos}(\alpha(n))}}

.
3.À l'aide d'un tableur, retrouver l'encadrement d'Archimède du nombre 

\pi

. Les fractions pourront être approchées par des nombres décimaux. 

Étape par étape

Dans ses travaux, Archimède de Syracuse propose une méthode d'approximation du nombre

\pi

. Il considère les suites de polygones réguliers inscrits et circonscrits dans un cercle de rayon 

1

et il en calcule les demi-périmètres. Pour un nombre de côtés fixés

n

, il encadre ainsi le nombre 

\pi

: 
demi-périmètre du polygone inscrit

<\pi<

demi-périmètre du polygone circonscrit.

 Archimède traite exclusivement les cas des polygones réguliers à 

n=3 \times 2^m

côtés, 

m

étant un entier naturel. Pour 

m=5

(c'est-à-dire en considérant les polygones réguliers à 96 côtés), on obtient le célèbre encadrement 

\dfrac{223}{71}<\pi<\dfrac{22}{7 }

. 
Dans cette activité, nous allons tenter de retrouver cet encadrement à l'aide de la trigonométrie (qu'Archimède ne connaissait pas !).

Ce fichier de géométrie dynamique montre la suite des polygones réguliers inscrits dans un cercle de rayon

1

et affiche le demi-périmètre pour chaque polygone. En faisant bouger le curseur

n

correspondant au nombre de côtés du polygone régulier inscrit, observer la suite des demi-périmètre.

Expliquer pourquoi les demi-périmètres s'approchent de plus en plus du nombre

\pi

. Qu'en serait-il si le rayon était égal à

2

? Et pour un rayon

r

?

Soit

\text{ABCDEF}

et

\text{A'B'C'D'E'F'}

les hexagones respectivement inscrit et circonscrit à un cercle de centre 

\text O

et de rayon

1

de sorte que les points

\text{O, A, A'}

sont alignés (et par conséquent tous les autres triplets correspondants aussi) comme illustré dans la figure suivante. La perpendiculaire à

(\text{AB})

passant par

\text O

coupe

\text {[AB]}

en

\text I

et

\text {[A'B']}

en

\text I'

.1.Démontrer que les triangles

\text{AOB}

et

\text{A'OB'}

sont équilatéraux.
2.Donner les longueurs

\text{AB}

et

\text{A'B'}

. 
3.Déduire les demi-périmètres de

\text{ABCDEF}

et

\text{A'B'C'D'E'F'}

 et donner un encadrement de

\pi

.

Soit 

n

, avec

n\geqslant 3

, le nombre de côtés des polygones réguliers inscrits et circonscrits au cercle de centre

\text O

et rayon

1.

De manière analogue au cas des hexagones, on considère les triangles isocèles

\text{AOB}

et

\text{A'OB'}

.
1.Expliquer pourquoi la mesure en degrés de l'angle

\widehat{\text{IOA}}

s'exprime, en fonction de 

n

, par

\alpha(n)=\dfrac{180^\circ}{n}

.
2.En déduire

\text{AB}=2 \text{sin} (\alpha(n))

puis

\text{A'B'}=2 \dfrac{\text{sin}(\alpha(n))}{{\text{cos}(\alpha(n))}}

.
3.À l'aide d'un tableur, retrouver l'encadrement d'Archimède du nombre 

\pi

. Les fractions pourront être approchées par des nombres décimaux. 