Méthode d'Euler
L'objectif de cette activité est de construire, de façon approchée, la courbe représentative de la fonction exponentielle
, définie et dérivable sur
, telle que
.
La méthode mise au point par Leonhard Euler (1707-1783) que nous allons utiliser permet de déterminer une suite de points proches de ceux appartenant à la courbe. Nous allons ainsi obtenir une approximation de l'allure de la courbe cherchée.
Méthode
1.On se place dans un repère et on considère le point
de coordonnées
. Il appartient, par définition, à la courbe représentative de la fonction
.
2.On détermine une équation de la tangente à lacourbe représentative de
au point
.
3.On considère le point
, appartenant à la tangente, et dont l'abscisse est
,
étant un réel non nul choisi arbitrairement. On calcule l'ordonnée de
.
4.On réitère l'algorithme de construction à partir du point
et on construit d'autres points.
Ce fichier de géométrie dynamique permet de visualiser les différentes étapes de construction en déplaçant le curseur « étape ». Vous pouvez choisir différentes valeurs de
aussi bien positives que négatives et observer l'effet sur l'approximation des points appartenant à la courbe de la fonction exponentielle. Vous pouvez à tout moment la visualiser en cochant la case « Visualiser la courbe de la fonction exponentielle ».
Calcul des coordonnées des points par la méthode d'Euler
1. Coordonnées du point \(\boldsymbol {\text{N}}\)
a.Rappeler l'abscisse du point
en fonction de
.
b.Montrer que l'équation de la tangente
à lacourbe représentative de
au point
est :
.
c.En déduire l'ordonnée de
.
2. Coordonnées des points approchant la courbe représentative de la fonction exponentielle
Soit
la suite des abscisses des points que l'on cherche définie par
Soit
la suite des ordonnées des points que l'on cherche définie par
.
Soit
. a.Élaborer une feuille de calcul pour calculer les coordonnées des points à construire comme montré dans la figure suivante.
b.Quelle formule entrer dans la cellule C3 puis recopier vers la droite pour obtenir la ligne 3 ?c.Afficher le nuage des points de coordonnées
.d.Modifier la valeur de
et observer le nuage de points correspondant. Expliquer ce qui se passe lorsque
est négatif.