On veut observer le comportement d'une suite lorsque
prend des valeurs de plus en plus grandes.
On étudie donc les valeurs des termes d'une suite lorsque
tend vers
.
Pour cela, on peut utiliser les représentations graphiques de suite à l'aide d'une calculatrice, d'un logiciel de géométrie dynamique ou d'un tableur ou programme écrit, par exemple, en langage Python.
Limite d'une suite
Définitions
• Une suite admet unelimite finie \(l\in\mathbb{R}\) en
lorsque les termes
se rapprochent de plus en plus de
lorsque
tend vers
. On dit alors que la suite estconvergenteet on note \(\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} u_n=l\).
• On dit qu’une suite estdivergentelorsqu’elle n’est pas convergente. Deux cas sont possibles :- la suite n’a pas de limite ;- la suite a pour limite
(respectivement
) lorsque, pour tout réel positif (respectivement négatif)
, ses termes appartiennent tous à l’intervalle
(respectivement
) lorsque
devient très grand.
Exemple 1
Soit
la suite de terme général
.
On calcule les premiers termes de la suite
et on peut voir que plus
est grand, plus les termes
se rapprochent de
.
On conjecture que la suite
admet comme limite finie
.
Cette conjecture est exacte, on peut la démontrer. On note : \(\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} u_n=0\).
Exemple 2
Soit
la suite définie par
.
À l'aide de la représentation graphique de la suite, on peut conjecturer qu'elle admet
comme limite finie. On note :\(\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} v_n=1\).
Exemple 3
Soit
la suite arithmétique de premier terme
et de raison
.
Pour tout réel
, on peut toujours trouver un rang
tel que le terme
soit inférieur à
.
En effet, pour
, par exemple,
. C'est-à-dire
.
De même pour
,
. C'est-à-dire
.
La suite
admet comme limite
. On note : \(\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} w_n=+\infty\).
Exemple 4
Il existe des suites qui n’ont pas de limite, comme la suite
définie par
.
✎ Algorithme de seuil
Méthode
Lorsqu'une suite admet une limite finie ou infinie, on peut s'intéresser à déterminer le rang à partir duquel les termes vérifient une condition.
Par exemple, si elle converge vers un réel
, chercher le rang à partir duquel les termes de la suite sont proches de
à
près ou, si elle diverge vers
, déterminer le rang tel que les termes soient supérieurs à un réel positif fixé.
Pour répondre à ce problème, on utilise généralement ce que l'on appelle un algorithme de seuil.
Voici deux exemples de résolution d'un problème de seuil par :
- La table du mode « suite » de la calculatrice et on procède par balayage ;
- Un programme écrit en langage Python.
Exemple 1
La suite
définie par
tend vers
lorsque
tend vers
. On cherche le rang à partir duquel les termes sont plus petits que
.
Pour cela, on regarde la table de la suite à la calculatrice puis on règle l'intervalle de façon à trouver
.
On obtient que
lorsque
.
Exemple 2
La suite
définie par
tend vers
lorsque
tend vers
. On cherche le rang à partir duquel
se rapproche de sa limite avec une précision de
près. On admet que la suite est croissante.
On utilise un algorithme Python qui calcule chaque terme de la suite et le compare à
.
On teste chaque terme en le comparant à
et on renvoie le premier indice
tel que
. Il est convenable d’utiliser uneboucle « tant que ».
Le programme renvoie
. Les termes de la suites se rapprochent de
avec une précision supérieure à
à partir du terme de rang
.