Opérations et fonctions dérivées

Dérivée d'une somme

Propriété

Soit 

f

 une fonction définie sur un intervalle 

I

de

\mathbb R

de la forme 

f=u+v

où

u

et

v

 sont deux fonctions dérivables sur 

I

.
Alors 

f

 est dérivable sur 

I

 et pour tout 

x\inI

,

f'(x)=u'(x)+v'(x)

.

Démonstration

Soit 

f=u+v

et

a\inI

. 
Pour tout réel 

h\ne0

 tel que

(a+h)\inI

, on a : 

\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}=\dfrac{(u+v)(a+h)-(u+v)(a)}{h}=\dfrac{u(a+h)+v(a+h)-(u(a)+v(a))}{h}

En réorganisant les termes, on obtient : 

\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}=\dfrac{u(a+h)-u(a)+v(a+h)-v(a)}{h}

\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}=\dfrac{u(a+h)-u(a)}{h}+\dfrac{v(a+h)-v(a)}{h}

Or,

u

et

v

 étant dérivables en 

a

, on a : 

\lim\limits_{h \rightarrow 0} \dfrac{u(a+h)-u(a)}{h}=u'(a)

et

\lim\limits_{h \rightarrow 0} \dfrac{v(a+h)-v(a)}{h}=v'(a)

.

Ainsi,  

\lim\limits_{h \rightarrow 0} \dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}=u'(a)+v'(a)

.

La fonction 

f=u+v

 est donc dérivable pour tout 

a\in I

et

f'(a)=u'(a)+v'(a)

.

Dérivée du produit par une constante

Propriété

Soit 

f

 une fonction définie sur un intervalle 

I

de

\mathbb R

de la forme 

f=ku

où

u

 est une fonction dérivable sur 

I

et

k

 un réel.
Alors 

f

 est dérivable sur 

I

 et pour tout 

x\inI

,

f'(x)=ku'(x)

.

Démonstration

Soit 

f=ku

et

a\inI

. 
Pour tout réel 

h\ne0

 tel que

(a+h)\inI

, on a : 

\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}=\dfrac{(ku)(a+h)-(ku)(a)}{h}=\dfrac{ku(a+h)-ku(a)}{h}=k\dfrac{u(a+h)-u(a)}{h}

Or,

u

étant dérivable en 

a

, on a : 

\lim\limits_{h \rightarrow 0} \dfrac{u(a+h)-u(a)}{h}=u'(a)

.

Ainsi, 

\lim\limits_{h \rightarrow 0} \dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}=ku'(a)

.

La fonction 

f=ku

 est donc dérivable pour tout 

a\in I

et

f'(a)=ku'(a)

.

Dérivée d'un produit

Propriété

Soit 

f

 une fonction définie sur un intervalle 

I

de

\mathbb R

de la forme 

f=uv

où

u

et

v

 sont deux fonctions dérivables sur 

I

. 
Alors 

f

 est dérivable sur 

I

 et pour tout

x\inI

,

f'(x)=u'(x)\timesv(x)+u(x)\timesv'(x)

.

Démonstration

Soit 

f=uv

et

a\inI

.
Pour tout réel 

h\ne0

 tel que

(a+h)\inI

, on a : 

\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}=\dfrac{(uv)(a+h)-(uv)(a)}{h}=\dfrac{u(a+h)v(a+h)-u(a)v(a)}{h}=\dfrac{\color{blue}{u(a+h)v(a+h)}}{h}-\dfrac{\color{green}{u(a)v(a)}}{h}

En insérant le terme

-\frac{\color{red}{u(a)v(a+h)}}{h}+\frac{\color{red}{u(a)v(a+h)}}{h}=0

, on obtient : 

\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}=\dfrac{\color{blue}{u(a+h)v(a+h)}}{h}-\dfrac{\color{red}{u(a)v(a+h)}}{h}+\dfrac{\color{red}{u(a)v(a+h)}}{h}-\dfrac{\color{green}{u(a)v(a)}}{h}

Regroupons les termes différemment, c'est-à-dire factorisons les deux premiers termes par\(\color\purple{v(a+h)}\)et les deux autres par\(\color\purple{u(a)}\) :

\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}=\dfrac{\color{blue}{u(a+h)}\color{purple}{v(a+h)}}{h}-\dfrac{\color{red}{u(a)}\color{purple}{v(a+h)}}{h}+\dfrac{\color{purple}{u(a)}\color{red}{v(a+h)}}{h}-\dfrac{\color{purple}{u(a)}\color{red}{v(a)}}{h}

\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}=\dfrac{\color{blue}{u(a+h)}-\color{red}{u(a)}}{h}\times \color{purple}{v(a+h)}{+ \color{purple}{u(a)} \times \dfrac{\color{red}{v(a+h)-v(a)}}{h}}

Or,

u

et

v

 étant dérivables en 

a

, on a : 

\lim\limits_{h \rightarrow 0} \dfrac{u(a+h)-u(a)}{h}=u'(a)

et

\lim\limits_{h \rightarrow 0} \dfrac{v(a+h)-v(a)}{h}=v'(a)

, de plus, 

\lim\limits_{h \rightarrow 0} v(a+h)=v(a)

.

Ainsi,  

\lim\limits_{h \rightarrow 0} \dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}=u'(a)\times v(a)+u(a)\times v'(a)

.

La fonction 

f=uv

 est donc dérivable pour tout 

a\in I

et

f'(a)=u'(a)\times v(a)+u(a)\times v'(a)

.

Calcul de la dérivée d'une fonction polynôme - Exemple 1

Calculons les dérivées des fonctions définies sur 

\mathbb(R)

par :

f(x)=4x^3

g(x)=-x^5+x^2/2+4x-1

h(x)=\frac{-7x^3-x}{3}

Ces fonctions sont bien dérivables sur 

\mathbb(R)

 en tant que somme de fonctions dérivables du type 

kx^n

 avec 

k\in \mathbb(R)

et

n\in\mathbb(N)

.

f

estde la forme \(ku\)avec 

k=4

et

u(x)=x^3

. Sa dérivée est donnée, pour tout

x

 réel, par\(f'(x)=4\times3x^2=12x^2\). 

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;•&nbsp;On dérive

g

en tant que somme de fonctions dérivables : pour tout 

x

 réel, 

g'(x)=-5x^4+\dfrac{1}{2}\times2x+4+0=-5x^4+x+4

.

h(x)

 peut se réécrire sous la forme 

h(x)=-7/3x^3-1/3x

.On a donc pour tout 

x

 réel, 

h'(x)=-\dfrac{7}{3}\times 3x^2-\dfrac{1}{3}=-7x^2-\dfrac{1}{3}

.

Remarque
Les fonctions sommes de termes du type

kx^n

sont dérivables sur

\mathbb R

.

Calcul de la dérivée d'un produit - Exemple 2

Calculons les dérivées des fonctions suivantes : 

Soit 

f

 la fonction définie sur 

[0;+\infty[

par

f(x)=x^4\sqrt(x)

.

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;•&nbsp;Soit 

g

 la fonction définie sur 

]0;+\infty[

par

g(x)=4/x\sqrt(x)

.

Ces fonctions sont dérivables sur

]0;+\infty[

 comme produit de fonctions dérivables (attention, 

x\mapsto\sqrt(x)

 n'est pas dérivable en 

0

).

f(x)=\color{red}{x^4}\color{green}{\sqrt(x)}

 est le produit des fonctions définies et dérivables sur 

]0;+\infty[

par

u(x)=\color{red}{x^4}

et

v(x)=\color{green}{\sqrt(x)}

 dont les dérivées sont données par

u'(x)=\color{red}{4x^3}

et

v'(x)=\color{green}{\dfrac{1}{2\sqrt{x}}}

.

En appliquant la propriété de la dérivée d'un produit on obtient :
Pour tout 

x\in]0;+\infty[

,

f'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)=\color{red}{4x^3}\color{green}{\sqrt{x}}+\color{red}{x^4}\times\color{green}{\dfrac{1}{2\sqrt{x}}}

,
c'est-à-dire, 

f'(x)=4x^3\sqrt x+\dfrac{1}{2}x^3\sqrt x

 (car 

x^4/(2\sqrt(x))=1/2\frac{x^3x}{\sqrt(x)}=1/2x^3x/\sqrt(x)=1/2x^3\sqrt(x)

).Enfin \(f'(x)=\dfrac 9 2 x^3\sqrt x\). 

g(x)=\color{red}{4/x}\color{green}{\sqrt(x))

 est le produit des fonctions définies et dérivables sur 

]0;+\infty[

par

u(x)=\color{red}{4/x}

et

v(x)=\color{green}{\sqrt(x)}

 dont les dérivées sont : 

u'(x)=\color{red}{-\dfrac{4}{x^2}}

et

v'(x)=\color{green}{\dfrac{1}{2\sqrt{x}}}

. Pour tout 

x\in]0;+\infty[

,

g'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)=\color{red}{-\dfrac4{x^2}}\times\color{green}{\sqrt x}+\color{red}{\dfrac{4}{x}}\times\color{green}{\dfrac{1}{2\sqrt x}}

, c'est-à-dire, 

g'(x)=-\dfrac{4\sqrt x}{ x^2}+\dfrac{4}{2x\sqrt x }=\dfrac{-4}{x\sqrt x}+\dfrac{2}{x\sqrt x}=\dfrac{-2}{x\sqrt x}

.

Dérivée d'une inverse

Propriété

Soit 

u

 une fonction dérivable sur un intervalle 

I

de

\mathbb R

sur lequel elle ne s'annule pas. Alors la fonction

f=\dfrac 1 u

 est dérivable sur 

I

 et sa dérivée est donnée, pour tout 

x

dans 

I

, par

f'(x)=-\dfrac{u'(x)}{(u(x))^2}

.

 Démonstration

Soit 

a\inI

. Pour tout réel 

h\ne0

 tel que

a+h\in I

, on a : 

\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}=\dfrac{(\frac{1}{u})(a+h)-(\frac{1}{u})(a)}{h}=\frac{\frac{1}{u(a+h)}-\frac{1}{u(a)}}{h}=\dfrac{1}{\color{black}{h}}\times \dfrac{\color{red}{u(a)-u(a+h)}}{\color{blue}{u(a+h)u(a)}}

soit, en réorganisant les termes, 

\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}=\dfrac{\color{red}{-1}}{\color{blue}{u(a+h)u(a)}}\times \dfrac{\color{red}{u(a+h)-u(a)}}{\color{black}{h}}

Or,

u

 est dérivable en 

a

 donc on a : 

\lim\limits_{h \rightarrow 0} \frac{u(a+h)-u(a)}{h}=u'(a)

et

\lim\limits_{h \rightarrow 0} u(a+h)u(a)=(u(a))^2

.

Ainsi, 

\lim\limits_{h \rightarrow 0} \dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}=\frac{-1}{u^2(a)}\times u'(a)

.

La fonction 

f=1/u

 est donc dérivable pour tout 

a\in I

et

f'(a)=-\dfrac{u'(a)}{(u(a))^2}

.

Calcul de dérivée avec la fonction inverse - Exemple 1

On souhaite déterminer la fonction dérivée de la fonctiondéfinie sur 

[0;+\infty[

par

f(x)=\frac{1}{x^3+2x^2+1}

.

La fonction 

f

 est du type 

1/u

avec : 

u(x)=x^3+2x^2+1

.

Or

u

 est dérivable et non nulle sur 

[0;+\infty[

(

u

est une somme de fonctions dérivables et positives sur

[0;+\infty[

). Pour tout 

x

dans 

\mathbbR

, on a

u'(x)=3x^2+4x

.

On conclut que 

f

 est dérivable sur 

[0;+\infty[

 et pour tout 

x\in ​[0;+\infty[ ​

, on a : 

f'(x)=\frac{-(3x^2+4x)}{(x^3+2x^2+1)^2}

.

Calcul de dérivée avec la fonction inverse - Exemple 2

On souhaite déterminer la fonction dérivée de la fonction définie sur 

[0;+\infty[

par

g(x)=\frac{4}{\sqrt(x)+5x+1}

.

La fonction 

g

 est du type 

1/u

avec : 

u(x)=\sqrt(x)+5x+1

.

Or

u

 est dérivable et non nulle sur 

]0;+\infty[

. En effet,

u

est une somme de fonctions dérivables et positives sur

]0;+\infty[

. Pour tout 

x

dans 

\mathbbR

, on a

u'(x)=1/(2\sqrt(x))+5

.

On conclut que 

g

 est dérivable sur 

]0;+\infty[

 et, pour tout 

x\in ​]0;+\infty[ ​

, on a : 

g'(x)=\frac{-(1/(2\sqrt(x))+5)}{(\sqrt(x)+5x+1)^2}=\frac{-(1+10\sqrt(x))}{2\sqrt(x)(\sqrt(x)+5x+1)^2}

.

Dérivée d'un quotient

Propriété

Soit 

u

et

v

 deux fonctions dérivables sur un intervalle 

I

de

\mathbb R

sur lequel 

v

ne s'annule pas.
Alors la fonction

u/v

 est dérivable sur 

I

 et sa dérivée est donnée, pour tout 

x

dans 

I

, par

f'(x)=\dfrac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{(v(x))^2}

.

Démonstration

Soit 

f=u/v

et

v(x)\ne0

 pour tout 

x\inI

.
Il suffit de remarquer que : 

f=\frac{u}{v}=u\times\frac{1}{v}.

La fonction 

f

 est donc dérivable sur 

I

 comme produit de fonctions dérivables et : 

(u\times\frac{1}{v})^'=u'\times 1/v+u\times ((-v')/v^2)=u^'/v-(uv')/v^2=\frac{u'v-uv'}{v^2}

.

Calcul de la dérivée d'un quotient de polynômes - Exemple 1

On souhaite déterminer les fonctions dérivées des fonctions définies sur 

]2;+\infty[

par

1.

f(x)=\frac{x+3}{x-2}

2.

g(x)=\frac{3x^3-5x+1}{x-2}

1.La fonction 

f

 est du type 

u/v

avec : 

\color{green}{u(x)=x+3}

et

\color{red}{v(x)=x-2}

.

Or

u

et

v

 sont des fonctions dérivables et

v

 est non nulle sur 

]2;+\infty[

.

On a

\color{green}{u'(x)=1}

et

\color{red}{v'(x)=1}

. Alors, pour tout 

x\in

]2;+\infty[

,

f'(x)=\frac{\color{green}{1}\times\color{red}{(x-2)}-\color{green}{(x+3)}\times \color{red}{1}}{(\color{red}{x-2})^2}

.

C'est-à-dire, 

f'(x)=\frac{x-2-x-3}{(x-2)^2}=-\frac{5}{(x-2)^2}

.

2.La fonction 

g

 est du type 

u/v

avec : 

\color{green}{u(x)=3x^3-5x+1}

et

\color{red}{v(x)=x-2}

.

Or

u

et

v

 sont des fonctions dérivables et

v

 est non nulle sur 

]2;+\infty[

.

On a 

\color{green}{u'(x)=9x^2-5}

et

\color{red}{v'(x)=1}

. Alors, pour tout 

x\in

]2;+\infty[

,

g'(x)=\frac{\color{green}{(9x^2-5)}\times\color{red}{(x-2)}-\color{green}{(3x^3-5x+1)}\times \color{red}{1}}{(\color{red}{x-2})^2}

.

C'est-à-dire, 

g'(x)=\frac{9x^3-18x^2-5x+10-3x^3+5x-1}{(x-2)^2}=\frac{6x^3-18x^2+9}{(x-2)^2}

.

Calculs de la dérivée de quotients divers - Exemple 2

On souhaite déterminer la fonction dérivée de la fonction définie sur 

]0;+\infty[

par

f(x)=\frac{3\sqrt(x)+2}{x}

.

La fonction 

f

 est sous la forme d'un quotient du type 

u/v

avec : 

\color{green}{u(x)=3\sqrt(x)+2} \ \text(et) \ \color{red}{v(x)=x}

.

Sur

]0;+\infty[

, les fonctions 

u

et

v

 sont dérivables et non nulles donc 

f

 est dérivable sur 

]0;+\infty[

 et du type 

f'=(u'v-uv')/v^2

. Comme : 

\color{green}{u'(x)=3/(2\sqrt(x))} \ \text(et )\color{red}{v'(x)=1}

, on a pour tout 

x\in]0;+\infty[

:

f'(x)=\frac{\color{green}{3/(2\sqrt(x)}}\color{red}{x}-\color{green}{(3\sqrt(x)+2)}\times\color{red}{1}}{\color{red}{x^2}}=\frac{3/2\sqrt(x)-3\sqrt(x)-2}{x^2}

on a donc : 

f'(x)=\frac{-3/2\sqrt(x)-2}{x^2}=\frac{-3\sqrt(x)-4}{2x^2}

.

Dérivée d'une fonction composée avec une fonction affine

 Propriété (admise)

Soit 

a

et

b

 deux réels et 

g

 une fonction dérivable sur un intervalle 

I

de

\mathbb R

.
Pour tout réel 

x

 tel que 

ax+b\inI

, la fonction 

f

 définie par 

f(x)=g(ax+b)

 est dérivable sur 

I

et sa dérivée est donnée, pour tout 

x

dans 

I

, par\(\boxed{f'(x)=a\times g'(ax+b)}\).

Exemples

Prenons pour

g

 la fonction définie sur 

\mathbb(R)

par

g(x)=x^3

,

\color{green}{a=2}

et

\color{red}{b=-1}

. Alors la fonction 

f

 est la fonction définie sur 

\mathbb(R)

par

f(x)=g(\color{green}{2}x\color{red}{-1})=(2x-1)^3

.

f

est dérivable sur

\mathbb R

et, pour tout

x

dans

\mathbb R

,

f'(x)=2\times 3 \times (2x-1)^2 = 6(2x-1)^2

.

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;•&nbsp;Prenons pour 

g

 la fonction définie sur 

[0;+\infty[

par

g:\sqrt(x)

et

\color{green}{a=5}

et

\color{red}{b=2}

. Or,   

\color{green}{a}x+\color{red}{b}=\color{green}{5}x+\color{red}{2}

 est positif si et seulement si  

5x+2\geq0\Leftrightarrow5x \geq -2\Leftrightarrow x\geq -2/5

.  Alors la fonction 

f

 est la fonction définie sur 

\left[ \dfrac{-2}{5};+\infty \right[

par

f(x)=g(5x+2)=\sqrt(5x+2)

.

f

est dérivable sur

\left] \dfrac{-2}{5};+\infty \right[

et, pour tout

x

dans

\left] \dfrac{-2}{5};+\infty \right[

,

f'(x)=5\times \dfrac{1}{2\sqrt{5x+2}}= \dfrac{5}{2\sqrt{5x+2}}

.

Calcul de la dérivée d'une fonction composée avec une fonction affine - Exemple 1

On considère la fonction 

f

 définie sur 

\mathbb(R)

par

f(x)=(2x-1)^5

.
La fonction 

f

 est bien de la forme 

g(ax+b)

 avec 

g:x\mapstox^5

,

a=2

et

b=-1

.
Comme la fonction 

g

 est dérivable sur 

\mathbb(R)

 et que, pour tout réel 

x

,

g'(x)=\color{red}{5x^4}

, la fonction 

f

 est donc dérivable sur 

\mathbb(R)

 et :
pour tout réel 

x

,

f'(x)=\color{green}{a}\times g'(\color{blue}{ax+b})=\color{green}{2}\times {5}\times(\color{blue}{2x-1})^4=10(2x-1)^4

.

Calcul de la dérivée d'une fonction composée avec une fonction affine - Exemple 2

On considère la fonction 

f

 définie sur

]-\infty;2/3]

par

f(x)=\sqrt(2-3x)

.
La fonction 

f

 est bien de la forme 

g(ax+b)

 avec 

g:x\mapsto\sqrt(x)

,

a=-3

et

b=2

.
Comme la fonction 

g

 est dérivable sur 

]0;+\infty[

 et que, pour tout réel 

x

,

g'(x)=\color{red}{\frac{1}{2\sqrt(x)}

, la fonction 

f

 est donc dérivable sur

\left]-\infty;\dfrac23\right[

(en effet, sur cet intervalle,

2-3x

est strictement positif) et pour tout réel 

x

,

f'(x)=\color{green}{a}\times \color{red}{g'}(\color{blue}{ax+b})=\color{green}{-3}\times \color{red}{\frac{1}{2\sqrt(\color{blue}{2-3x})}}=\frac{-3}{2\sqrt(3-2x)}

.

En effet, ici, la fonction 

f

 n'est pas dérivable en 

2/3

car

2-3\times2/3=0

 et la fonction 

g

 n'est pas dérivable en 

0

.

Calcul de la dérivée d'une fonction composée avec une fonction affine - Exemple 3

On considère la fonction 

f

 définie sur

\left]-\infty;\dfrac{2}{3}\right[\cup \left]\dfrac{2}{3};+\infty\right[

par

f(x)=\frac{5}{3x-2}

.

La fonction 

f

 est le produit de

5

 par une fonction du type

g(ax+b)

 avec 

g:x\mapsto1/x

,

a=3

et

b=-2

.

Comme la fonction 

g

 est dérivable sur chaque intervalle

]-\infty;0[

et

]0;+\infty[

et que, pour tout réel 

x

,

g'(x)=\color{red}{\frac{-1}{x^2}

, la fonction 

f

 est donc dérivable sur chaque intervalle

\left]-\infty;\dfrac{2}{3}\right[

et

\left]\dfrac{2}{3};+\infty\right[

et pour tout réel 

x

,

f'(x)=5\times\color{green}{a}\times \color{red}{g'}(\color{blue}{ax+b})=5\times\color{green}{3}\times \color{red}{\frac{-1}{(\color{blue}{3x-2})^2}}=\frac{-15}{(3x-2)^2}

.

Dérivée d'une somme

Dérivée du produit par une constante

Dérivée d'un produit

Calcul de la dérivée d'une fonction polynôme - Exemple 1

Calcul de la dérivée d'un produit - Exemple 2

Dérivée d'une inverse

Calcul de dérivée avec la fonction inverse - Exemple 1

Calcul de dérivée avec la fonction inverse - Exemple 2

Dérivée d'un quotient

Calcul de la dérivée d'un quotient de polynômes - Exemple 1

Calculs de la dérivée de quotients divers - Exemple 2

Dérivée d'une fonction composée avec une fonction affine

Calcul de la dérivée d'une fonction composée avec une fonction affine - Exemple 1

Calcul de la dérivée d'une fonction composée avec une fonction affine - Exemple 2

Calcul de la dérivée d'une fonction composée avec une fonction affine - Exemple 3

Tableau récapitulatif des dérivées d'opérations