Propriété
Soit
f
une fonction définie sur un intervalle
I
de
\mathbb R
de la forme
f=u+v
où
u
et
v
sont deux fonctions dérivables sur
I
.
Alors
f
est dérivable sur
I
et pour tout
x\inI
,
.
Démonstration
Soit
f=u+v
et
a\inI
.
Pour tout réel
h\ne0
tel que
(a+h)\inI
, on a :
En réorganisant les termes, on obtient :
Or,
u
et
v
étant dérivables en
a
, on a :
et
.
Ainsi,
.
La fonction
f=u+v
est donc dérivable pour tout
a\in I
et
.
Dérivée du produit par une constante
Propriété
Soit
f
une fonction définie sur un intervalle
I
de
\mathbb R
de la forme
f=ku
où
u
est une fonction dérivable sur
I
et
k
un réel.
Alors
f
est dérivable sur
I
et pour tout
x\inI
,
.
Démonstration
Soit
f=ku
et
a\inI
.
Pour tout réel
h\ne0
tel que
(a+h)\inI
, on a :
Or,
u
étant dérivable en
a
, on a :
.
Ainsi,
.
La fonction
f=ku
est donc dérivable pour tout
a\in I
et
.
Dérivée d'un produit
Propriété
Soit
f
une fonction définie sur un intervalle
I
de
\mathbb R
de la forme
f=uv
où
u
et
v
sont deux fonctions dérivables sur
I
.
Alors
f
est dérivable sur
I
et pour tout
x\inI
,
f'(x)=u'(x)\timesv(x)+u(x)\timesv'(x)
.
Démonstration
Soit
f=uv
et
a\inI
.
Pour tout réel
h\ne0
tel que
(a+h)\inI
, on a :
En insérant le terme
-\frac{\color{red}{u(a)v(a+h)}}{h}+\frac{\color{red}{u(a)v(a+h)}}{h}=0
, on obtient :
Regroupons les termes différemment, c'est-à-dire factorisons les deux premiers termes par\(\color\purple{v(a+h)}\)et les deux autres par\(\color\purple{u(a)}\) :
Or,
u
et
v
étant dérivables en
a
, on a :
et
, de plus,
.
Ainsi,
.
La fonction
f=uv
est donc dérivable pour tout
a\in I
et
.
Calcul de la dérivée d'une fonction polynôme - Exemple 1
Calculons les dérivées des fonctions définies sur
\mathbb(R)
par :
f(x)=4x^3
g(x)=-x^5+x^2/2+4x-1
h(x)=\frac{-7x^3-x}{3}
Ces fonctions sont bien dérivables sur
\mathbb(R)
en tant que somme de fonctions dérivables du type
kx^n
avec
k\in \mathbb(R)
et
n\in\mathbb(N)
.
estde la forme \(ku\)avec
et
. Sa dérivée est donnée, pour tout
x
réel, par\(f'(x)=4\times3x^2=12x^2\).
• On dérive
en tant que somme de fonctions dérivables : pour tout
x
réel,
.
h(x)
peut se réécrire sous la forme
h(x)=-7/3x^3-1/3x
.On a donc pour tout
x
réel,
.
Remarque
Les fonctions sommes de termes du type
kx^n
sont dérivables sur
.
Calcul de la dérivée d'un produit - Exemple 2
Calculons les dérivées des fonctions suivantes :
Soit
f
la fonction définie sur
[0;+\infty[
par
f(x)=x^4\sqrt(x)
.
• Soit
g
la fonction définie sur
]0;+\infty[
par
g(x)=4/x\sqrt(x)
.
Ces fonctions sont dérivables sur
]0;+\infty[
comme produit de fonctions dérivables (attention,
x\mapsto\sqrt(x)
n'est pas dérivable en
0
).
f(x)=\color{red}{x^4}\color{green}{\sqrt(x)}
est le produit des fonctions définies et dérivables sur
]0;+\infty[
par
u(x)=\color{red}{x^4}
et
v(x)=\color{green}{\sqrt(x)}
dont les dérivées sont données par
et
.
En appliquant la propriété de la dérivée d'un produit on obtient :
Pour tout
x\in]0;+\infty[
,
,
c'est-à-dire,
(car
x^4/(2\sqrt(x))=1/2\frac{x^3x}{\sqrt(x)}=1/2x^3x/\sqrt(x)=1/2x^3\sqrt(x)
).Enfin \(f'(x)=\dfrac 9 2 x^3\sqrt x\).
g(x)=\color{red}{4/x}\color{green}{\sqrt(x))
est le produit des fonctions définies et dérivables sur
]0;+\infty[
par
u(x)=\color{red}{4/x}
et
v(x)=\color{green}{\sqrt(x)}
dont les dérivées sont :
et
. Pour tout
x\in]0;+\infty[
,
, c'est-à-dire,
.