Orthogonalité et distances dans l'espace

Produit scalaire dans l'espace

Définition

Soit 

\overrightarrow{u}

et

\overrightarrow{v}

 deux vecteurs dans l'espace.
Soit

\text A

,

\text B

et

\text C

trois points de l'espace tels que 

\overrightarrow{u}=\overrightarrow{\text A\text B}

et

\overrightarrow{v}=\overrightarrow{\text A\text C}

.
Le produit scalaire de 

\overrightarrow{u}

et

\overrightarrow{v}

, noté 

\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}

, est défini comme le produit scalaire 

\mathrm{\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}}

 dans un plan contenant les trois points

\text A

,

\text B

et

\text C

.

Remarques

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;•&nbsp;Le produit scalaire

\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}

est bien défini car il ne dépend pas des représentants des vecteurs

\overrightarrow{\text A\text B}

et

\overrightarrow{\text A\text C}

.

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;•&nbsp;Toutes les propriétés du produit scalaire vues dans le plan sont ainsi prolongées à l'espace.

Propriété

Soit

\text A

,

\text B

et

\text C

trois points de l'espace, tels que

\text B

et

\text C

sont distincts de 

\text A

.
Soit

\overrightarrow{u}

et

\overrightarrow{v}

des vecteurs de l'espace tels que 

\overrightarrow{u}=\overrightarrow{\text A\text B}

et

\overrightarrow{v}=\overrightarrow{\text A\text C}

.
Alors on a :

\boxed{\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v} = ||\overrightarrow{u}||\times ||\overrightarrow{v}||\times \cos(\widehat{\text B\text A\text C})= \text A\text B\times \text A\text C\times \cos(\widehat{\text B\text A\text C})}

Soit

\text H

 le projeté orthogonal du point

\text C

sur la droite

(\text A\text B)

.

Remarque 1

Soit

\text A

,

\text B

et

\text C

trois points alignés de l'espace, alors :

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;•&nbsp;si 

\overrightarrow{\text A\text B}

et

\overrightarrow{\text A\text C}

 sont demême sens, on a : 

\overrightarrow{\text A\text B}\cdot \overrightarrow{\text A\text C} = \text A\text B \times \text A\text C

.

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;•&nbsp;si

\overrightarrow{\text A\text B}

et

\overrightarrow{\text A\text C}

 sont desens contraire, on a :

\overrightarrow{\text A\text B}\cdot \overrightarrow{\text A\text C} = -\text A\text B \times \text A\text C

.

Remarque 2
Soit

\overrightarrow{u}

un vecteur de l'espace. On a 

\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{u} = \overrightarrow{u}^2 = ||\overrightarrow{u}||^2

.

\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{u}

  est appelécarré scalairedu vecteur

\overrightarrow{u}

.

Propriétés du produit scalaire

Propriété

Pour tous vecteurs 

\overrightarrow{u}

,

\overrightarrow{v}

,

\overrightarrow{w}

de l'espace et tout réel

a

, on a :

\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v} = \overrightarrow{v}\cdot \overrightarrow{u}

 (symétrie)

\overrightarrow{u}\cdot (\overrightarrow{v}+ \overrightarrow{w}) = \overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v} + \overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{w}

et

\overrightarrow{u}\cdot (a\overrightarrow{v}) = a (\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v})

 (bilinéarité)

(\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v})^2 = \overrightarrow{u}^2+2\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v} + \overrightarrow{v}^2

(\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v})^2 = \overrightarrow{u}^2-2\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v} + \overrightarrow{v}^2

(\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v})(\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}) = \overrightarrow{u}^2 - \overrightarrow{v}^2

PropriétéFormules de polarisation

Pour tous vecteurs 

\overrightarrow{u}

et

\overrightarrow{v}

de l'espace, on a :

\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v} = \dfrac 12\left(||\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}||^2-||\overrightarrow{u}||^2-||\overrightarrow{v}||^2\right)

\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v} = \dfrac 12\left(||\overrightarrow{u}||^2+||\overrightarrow{v}||^2-||\overrightarrow{v}-\overrightarrow{u}||^2\right)

\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v} = \dfrac 14\left(||\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}||^2-||\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}||^2\right)

Démonstration

Soit

\overrightarrow{u}

et

\overrightarrow{v}

deux vecteurs de l'espace. On a :

||\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}||^2 =(\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v})^2=(\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v})\cdot (\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v})

||\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}||^2 =\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{u} + \overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}+ \overrightarrow{v}\cdot \overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}\cdot \overrightarrow{v}

||\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}||^2 = ||\overrightarrow{u}||^2+2\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}+ ||\overrightarrow{v}||^2

D'où : 

2\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = ||\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}||^2-||\overrightarrow{u}||^2-||\overrightarrow{v}||^2

.

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;•&nbsp;En développant de la même façon, on a : 

||\overrightarrow{v}-\overrightarrow{u}||^2 = ||\overrightarrow{v}||^2-2\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v} + ||\overrightarrow{u}||^2

.D'où : 

2\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v} = ||\overrightarrow{v}||^2 + ||\overrightarrow{u}||^2-||\overrightarrow{v}-\overrightarrow{u}||^2

.

||\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}||^2 = ||\overrightarrow{u}||^2+2\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}+ ||\overrightarrow{v}||^2

et

||\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}||^2 = ||\overrightarrow{u}||^2-2\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v} + ||\overrightarrow{v}||^2

.On soustrait membre à membre ces deux égalités.

Remarque

Dans un triangle

\text A\text B\text C

, si on connaît les longueurs des trois côtés, on peut calculer le produit scalaire entre deux vecteurs issus d'un même sommet : 

\boxed{\overrightarrow{\text A\text B}\cdot \overrightarrow{\text A\text C} = \dfrac12\left(\text A\text B^2+\text A\text C^2-\text B\text C^2\right)}

.

Produit scalaire dans une base et un repère orthonormés

Définition

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;•&nbsp;On appelle base orthonormée de l'espace toute base 

\left(\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}\right)

 de l'espacetelle que les vecteurs

\overrightarrow{i}

,\(\overrightarrow{j}\)et 

\overrightarrow{k}

sont deux à deux orthogonaux et\(||\overrightarrow{i}|| = ||\overrightarrow{j}|| = ||\overrightarrow{k}|| = 1\).

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;•&nbsp;Un repère

\left(\text O~;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}\right)

de l'espace est dit orthonormési la base

\left(\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}\right)

est orthonormée.

Propriété

Soit

\left(\text O~;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}\right)

un repère orthonormé de l'espace. Soit \(\overrightarrow{u}\begin{pmatrix} x\\ y \\z \\ \end{pmatrix}\) et 

\displaystyle\overrightarrow{v}\begin{pmatrix} x'\\ y' \\z' \\ \end{pmatrix}

deux vecteurs. Alors on a : 

\boxed{\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v} =xx'+yy'+zz'}

.
En particulier :

||\overrightarrow{u}|| = \sqrt{x^2+y^2+z^2}

.

Démonstration

D'après une formule de polarisation, on a 

\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v} = \dfrac 12\left(||\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}||^2-||\overrightarrow{u}||^2-||\overrightarrow{v}||^2\right)

.
Or 

\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}\begin{pmatrix} x+x'\\ y+y' \\z +z'\\ \end{pmatrix}

, donc 

||\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}||^2=(x+x')^2+(y+y')^2+(z+z')^2

.
De plus, 

||\overrightarrow{u}||^2 = x^2+y^2+z^2

 et, de même, 

||\overrightarrow{v}||^2 = x'^2+y'^2+z'^2

.
Alors 

||\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}||^2-||\overrightarrow{u}||^2-||\overrightarrow{v}||^2 =\\ = (x+x')^2+(y+y')^2+(z+z')^2-(x^2+y^2+z^2)-(x'^2+y'^2+z'^2)

D'où 

||\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}||^2-||\overrightarrow{u}||^2-||\overrightarrow{v}||^2 =\\ = (x+x')^2+(y+y')^2+(z+z')^2-x^2-y^2-z^2-x'^2-y'^2-z'^2\\= x^2+2xx'+x'^2+y^2+2yy'+y'^2+z^2+2zz'+z'^2-x^2-y^2-z^2-x'^2-y'^2-z'^2\\= 2xx'+2yy'+2zz'\\= 2(xx'+yy'+zz')

D'où 

\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v} = \dfrac 12\left(2(xx'+yy'+zz')\right) = xx'+yy'+zz'

.

Énoncé

Dans un repère orthonormé de l'espace, on donne les points

\text A(-1~;~2~;-4)

,

\text B(-3~;~6~;~5)

et

\text C(1~;~1~;-1)

. Calculer le produit scalaire

\mathrm{\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}}

.

Solution
On a 

\mathrm{\overrightarrow{AB}} \begin{pmatrix} -2\\ 4 \\9 \\ \end{pmatrix}

et

\overrightarrow{\text A\text C} \begin{pmatrix} 2\\ -1 \\3 \\ \end{pmatrix}

donc 

\overrightarrow{\text A\text B}\cdot\overrightarrow{\text A\text C} = -2\times 2+4\times (-1)+9 \times 3=-4-4+27=19

.

Orthogonalité dans l'espace

Orthogonalité de deux vecteurs de l'espace

Définition

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;•&nbsp;Soit

\overrightarrow{u}

et

\overrightarrow{v}

deux vecteurs non nuls de l'espace.Soit

\text A

 un point de l'espace. Soit

d_1

et

d_2

 les droites de l'espace passant par\(\text A\)et de vecteurs directeurs respectifs

\overrightarrow{u}

et

\overrightarrow{v}

.Les vecteurs

\overrightarrow{u}

et

\overrightarrow{v}

sont dits orthogonaux si les droites

d_1

et

d_2

sont perpendiculaires.

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;•&nbsp;Le vecteur nul est orthogonal à tout vecteur de l'espace.

Propriété

Deux vecteurs

\overrightarrow{u}

et

\overrightarrow{v}

de l'espace sont orthogonaux si et seulement si

\boxed{\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}=0}

.

Démonstration

Soit

\overrightarrow u

et

\overrightarrow v

deux vecteurs de l'espace. On note

\text A

,

\text B

et

\text C

trois points tels que

\overrightarrow u = \overrightarrow{\mathrm{AB}}

et

\overrightarrow v = \overrightarrow{\mathrm{BC}}

. Alors 

\overrightarrow{\mathrm{AC}} = \overrightarrow u + \overrightarrow v

.

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;•&nbsp;On suppose

\overrightarrow u

et

\overrightarrow v

orthogonaux. 

Alors, le triangle

\mathrm{ABC}

est rectangle en

\text B

.
Donc, par le théorème de Pythagore,

\mathrm{AC^2=AB^2+BC^2}

, soit

||\overrightarrow u+\overrightarrow v||^2=||\overrightarrow u||^2+||\overrightarrow v||^2

.
Cette égalité équivaut à 

||\overrightarrow u+\overrightarrow v||^2-||\overrightarrow u||^2-||\overrightarrow v||^2=0

. 
Donc, d'après une identité de polarisation,

\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v} = \dfrac 12\left(||\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}||^2-||\overrightarrow{u}||^2-||\overrightarrow{v}||^2\right) = \dfrac12 \times 0 = 0

.

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;•&nbsp;Réciproquement, d'après une identité de polarisation, dire que

\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v} =0

 signifie que

\dfrac12\left(||\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}||^2-||\overrightarrow{u}||^2-||\overrightarrow{v}||^2\right) =0

, soit

||\overrightarrow u+\overrightarrow v||^2-||\overrightarrow u||^2-||\overrightarrow v||^2=0

, soit 

||\overrightarrow u+\overrightarrow v||^2=||\overrightarrow u||^2+||\overrightarrow v||^2

.C'est l'écriture vectorielle de la relation de Pythagore. Donc, par la réciproque du théorème de Pythagore, avec les notations ci-dessus, le triangle

\mathrm{ABC}

est rectangle en

\text B

, donc les vecteurs

\overrightarrow{u}

et

\overrightarrow{v}

sont orthogonaux.

Orthogonalité de deux droites de l'espace

Définitions

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;•&nbsp;Soit 

d_1

une droite de l'espace de vecteur directeur

\overrightarrow{u}

et

d_2

une droite de l'espace de vecteur directeur 

\overrightarrow{v}

. Les droites

d_1

et

d_2

sont ditesorthogonalessi

\overrightarrow{u}

et

\overrightarrow{v}

sont orthogonaux.

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;•&nbsp;Deux droites de l'espace sontperpendiculaireslorsqu'elles sont orthogonales et sécantes.

Remarque

Si deux droites de l'espace sont perpendiculaires alors elles sont orthogonales. La réciproque est fausse.

Propriété

Deux droites

d_1

et

d_2

de l'espace sont orthogonales si et seulement s'il existe une droite

d

parallèle à

d_1

et perpendiculaire à 

d_2

.

Exemple

Soit 

\mathrm{ABCDEFGH}

 le cube suivant.

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;•&nbsp;Les droites

\mathrm{(EF)}

et

\mathrm{(FG)}

sont perpendiculaires.

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;•&nbsp;Les droites

\mathrm{(AD)}

et

\mathrm{(EF)}

sont orthogonales. En effet,

\mathrm{(AD)/\!/(FG)}

et

\mathrm{(EF)\perp (FG)}

.

Propriétés

Si deux droites de l'espace sont parallèles, alors toute droite de l'espace orthogonale à l'une est orthogonale à l'autre.
Si deux droites de l'espace sont orthogonales, alors toute droite de l'espace parallèle à l'une est orthogonale à l'autre.

Orthogonalité d'un plan et d'une droite de l'espace

Définition

Une droite de l'espace estorthogonaleà un plan lorsqu'elle est orthogonale àtoutes les droitesdu plan.

Propriété

Une droite de l'espace estorthogonale à un plansi et seulement si elle est orthogonale àdeux droites sécantes du plan.

Remarque

Une droiteorthogonaleà un plan lui est toujours sécante, alors on peut dire que la droite estperpendiculaireau plan.

Exemple

Soit le cube

\mathrm{ABCDEFGH}

.

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;•&nbsp;La droite

\mathrm{(GC)}

est perpendiculaire à la droite

\mathrm{(DC)}

et à la droite

\mathrm{(BC)}

.Comme

\mathrm{(DC)}

et

\mathrm{(BC)}

sont deux droites sécantes du plan

\mathrm{(ABC)}

, alors la droite

\mathrm{(GC)}

est orthogonale au plan

\mathrm{(ABC)}

.

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;•&nbsp;La droite

\mathrm{(GC)}

est orthogonale au plan

\mathrm{(ABC)}

. Elle est donc, en particulier, orthogonale à la droite 

\mathrm{(BD)}

.

Propriétés

Si deux droites de l'espace sont parallèles, alors tout plan orthogonal à l'une est orthogonal à l'autre.
Si deux plans sont parallèles, alors toute droite orthogonale à l'un est orthogonale à l'autre.
Si deux plans sont orthogonaux à une même droite, alors ils sont parallèles entre eux.

Propriété

Soit\(d\)une droite de l'espace de vecteur directeur\(\overrightarrow{u}\) et 

P

un plan dirigé par lesvecteurs

\overrightarrow{v}

et

\overrightarrow{w}

. La droite\(d\)et le plan

P

sont orthogonaux si et seulement si \(\overrightarrow{u}\) est orthogonal à la fois à\(\overrightarrow{v}\) et à\(\overrightarrow{w}\).

Vecteur normal à un plan

Définition

Un vecteur 

\overrightarrow{n}

non nul de l'espace estnormalà un plan

P

si

\overrightarrow{n}

est un vecteur directeur d'une droite orthogonale au plan 

P

.

Propriété

Soit un plan

P

de base

( \overrightarrow{u},\overrightarrow{v})

. Un vecteur

\overrightarrow{n}

non nul de l'espace est normal à ce plan s'il est orthogonal à la fois à

\overrightarrow{u}

et à

\overrightarrow{v}

.

Démonstration

Soit

( \overrightarrow{u},\overrightarrow{v})

une base de

P

. 
Dire que le vecteur

\overrightarrow{n}

est un vecteur non nul normal à 

P

signifie que

\overrightarrow{n}

est un vecteur directeur d'une droite\(d\)orthogonale au plan

P

.
Or

\overrightarrow{n}

est un vecteur directeur d'une droite\(d\)orthogonale au plan

P

si et seulement si

\overrightarrow{n}

 est orthogonal à la fois à\(\overrightarrow{v}\) et à\(\overrightarrow{w}\).

Remarques

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;•&nbsp;Si 

\overrightarrow{n}

est un vecteur normal à un plan

P

et si

\overrightarrow{n'}

est un vecteur non nul colinéaire à 

\overrightarrow{n}

, alors 

\overrightarrow{n'}

 est aussi un vecteur normal au plan 

P

​​​​.

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;•&nbsp;Si

\overrightarrow{n}

et

\overrightarrow{n'}

sont des vecteurs normaux à un même plan

P

, alors

\overrightarrow{n}

et

\overrightarrow{n'}

 sont colinéaires.

☛ Justifier qu'un vecteur est normal à un plan

Énoncé

Dans un repère orthonormé de l'espace, soit

\text A(-1~;-2~;~3)

,

\text B(1~;-2~;~7)

et

\text C(1~;~0~;~2)

trois points. On admet que les points

\text A

,

\text B

et

\text C

forment un plan. 
Soit

\overrightarrow{n}(-4~;~5~;~2)

un vecteur de l'espace. Justifier que 

\overrightarrow{n}

est normal au plan

\mathrm{(ABC)}

.

Solution

On a 

\mathrm{\overrightarrow{AB}} \begin{pmatrix} 2\\ 0 \\ 4 \end{pmatrix}

et

\mathrm{\overrightarrow{AC}} \begin{pmatrix} 2\\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}

 deux vecteurs du plan

\mathrm{(ABC)}

qui sont non colinéaires.
Alors 

\overrightarrow{n}\cdot \mathrm{\overrightarrow{AB}} = -4\times 2+5\times 0+2\times 4=-8+0+8=0

et

\overrightarrow{n}\cdot \mathrm{\overrightarrow{AC}} = -4\times 2+5\times 2+2\times (-1)=-8+10-2=-10+10=0

.
Conclusion: 

\overrightarrow{n}

 est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan, il est donc normal au plan

\mathrm{(ABC)}

.

Position relative d'une droite et d'un plan

Propriété

Soit

d

une droite de l'espace de vecteur directeur

\overrightarrow{u}

.
Soit

P

un plan de l'espace de vecteur normal

\overrightarrow{n}

.

La droite

d

estparallèleau plan

P

 si et seulement si

\overrightarrow{n}

et

\overrightarrow{u}

sont orthogonaux, c'est-à-dire 

\boxed{\overrightarrow{n}\cdot \overrightarrow{u}=0}

.

Remarque 1

Si

\overrightarrow n

et

\overrightarrow{u}

sont orthogonaux, alors la droite

d

est soit strictement parallèle au plan

P

, soit incluse dans le plan

P

.

Remarque 2

Soit

d

une droite de l'espace de vecteur directeur

\overrightarrow{u}

.
Soit

P

un plan de l'espace de vecteur normal

\overrightarrow{n}

.
La droite

d

estsécanteavec le plan

P

si et seulement si

\overrightarrow{n}

et

\overrightarrow{u}

 ne sont pas orthogonaux, c'est-à-dire 

\boxed{\overrightarrow{n}\cdot \overrightarrow{u}\neq 0}

.

Cas particulier

Soit

d

une droite de l'espace de vecteur directeur

\overrightarrow{u}

.
Soit

P

un plan de l'espace de vecteur normal

\overrightarrow{n}

.
La droite

d

estorthogonaleau plan

P

si et seulement si 

\overrightarrow{n}

et

\overrightarrow{u}

 sont colinéaires.

☛ Étudier la position relative d'une droite et d'un plan

 Énoncé

Le plan est muni d'un repère orthonormé.

1.Soit 

d

une droite dirigée par 

\overrightarrow{u}\begin{pmatrix} 2\\ 3 \\ -3 \\ \end{pmatrix}

et

P

un plan de vecteur normal 

\overrightarrow{n} \begin{pmatrix}-3\\ 1 \\ -1 \\ \end{pmatrix}

.
Étudier la position relative de

d

et

P

.

2.Soit 

d

une droite dirigée par 

\overrightarrow{u} \begin{pmatrix} 5\\ 3 \\ -1 \\ \end{pmatrix}

et

P

un plan de vecteur normal 

\overrightarrow{n} \begin{pmatrix}1\\ -2 \\0 \\ \end{pmatrix}

.
Étudier la position relative de

d

et

P

.

3.Soit 

d

une droite dirigée par 

\overrightarrow{u} \begin{pmatrix}4\\6 \\ -2 \\ \end{pmatrix}

et

P

un plan de vecteur normal 

\overrightarrow{n}\begin{pmatrix}-2\\ -3 \\ 1 \\ \end{pmatrix}

.
Étudier la position relative de

d

et

P

.

Solution

1.

\overrightarrow{n}\cdot \overrightarrow{u}=2\times (-3)+3\times 1+(-3)\times (-1)=-6+3+3=0

.
Donc

d

est parallèle à

P

.

2.

\overrightarrow{n}\cdot\overrightarrow{u} = 5\times1+3\times (-2)+(-1)\times 0=5-6+0=-1\neq 0

.
Donc 

d

et

P

 sont sécants.

3.

\overrightarrow{u}=-2\overrightarrow{n}

, donc 

\overrightarrow{n}

et

\overrightarrow{u}

 sont colinéaires :

d

est donc orthogonale à

P

.

Position relative de deux plans

Propriété

Soit 

P_1

et

P_2

deux plans de l'espace de vecteurs normauxrespectifs

\overrightarrow{n_1}

et

\overrightarrow{n_2}

.
Les plans

P_1

et

P_2

sont parallèles si et seulement si

\overrightarrow{n_1}

et

\overrightarrow{n_2}

sont colinéaires.

Remarque
Soit 

P_1

et

P_2

deux plans de l'espace de vecteurs normaux respectifs

\overrightarrow{n_1}

et

\overrightarrow{n_2}

.
Les plans

P_1

et

P_2

sont sécants selon une droite

d

lorsque

\overrightarrow{n_1}

et

\overrightarrow{n_2}

ne sont pas colinéaires.

Définition

Soit 

P_1

et

P_2

deux plans de l'espace de vecteurs normaux respectifs

\overrightarrow{n_1}

et

\overrightarrow{n_2}

.
On dit que les plans

P_1

et

P_2

sontperpendiculaireslorsque

\overrightarrow{n_1}

est orthogonal à

\overrightarrow{n_2}

.

Projeté orthogonal d'un point

Projeté orthogonal d'un point sur une droite

 Propriété

Soit

\text A

un point de l'espace et

d

une droite de l'espace. Il existe un unique plan passant par

\text A

et orthogonal à

d

. La droite

d

est alors sécante à ce plan.Définition

Soit

\text A

un point de l'espace et

d

une droite de l'espace. Leprojeté orthogonaldu point

\text A

sur la droite

d

est le point

\text H

appartenant à la droite

d

et tel que la droite

(\text A\text H)

est orthogonale à la droite

d

.

Projeté orthogonal d'un point sur un plan

Propriété

Soit

\text A

un point de l'espace et

P

un plan de l'espace. Il existe une unique droite passant par

\text A

et orthogonale à

P

. Le plan

P

  est alors sécant à cette droite.

Définition

Soit

\text A

un point de l'espace et

P

un plan de l'espace.
Leprojeté orthogonaldu point

\text A

sur le plan

P

est le point

\text H

appartenant au plan

P

et tel que la droite

(\text A\text H)

est orthogonale au plan

P

.

Caractérisation scalaire d'un plan de l'espace

Propriété

Soit

\text A

un point de l'espace et

\overrightarrow{n}

un vecteur non nul de l'espace.

1.Il existe un unique plan passant par

\text A

et de vecteur normal

\overrightarrow{n}

.

2.Ce plan est l'ensemble des points

\text M

de l'espace tels que

\overrightarrow{\text A\text M}\cdot \overrightarrow{n}=0

.

Démonstration

1. ExistenceSoit\(\overrightarrow{n}\)un vecteur de l'espace. On admet l'existence de deux vecteurs

\overrightarrow u

et

\overrightarrow v

tels que

\left(\overrightarrow u, \overrightarrow v, \overrightarrow n\right)

soit une base orthogonale de l'espace. Les vecteurs\(\overrightarrow u\)et\(\overrightarrow v\)ne sont pas colinéaires, et sont tous les deux orthogonaux à\(\overrightarrow{n}\). Le plan

P

passant par

\text A

et dirigé par\(\overrightarrow u\)et\(\overrightarrow v\)convient.

UnicitéSoit un autre plan\(P_1\) passant par\(\text A\)et de vecteur normal\(\overrightarrow{n}\). Alors la droite passant par \(\text A\)et dirigée par\(\overrightarrow{n}\)est orthogonale à la fois à\(P\)et à\(P_1\). Donc les plans sont parallèles entre eux. Or ils passent pas un même point \(\text A\), ils sont donc confondus.

2. Démonstration du second point

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;•&nbsp;Soit

\text M

un point du plan

P

passant par

\text A

et de vecteur normal

\overrightarrow{n}

.Alors le vecteur 

\overrightarrow{\text A\text M}

 est un vecteur de la direction du plan

P

.Donc ce vecteur est orthogonal au vecteur

\overrightarrow{n}

. Alors

\overrightarrow{\text A\text M}\cdot \overrightarrow{n}=0

.

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;•&nbsp;Soit le plan

P

passant par

\text A

et de vecteur normal

\overrightarrow{n}

.Soit

\text M

un point de l'espace qui vérifie 

\overrightarrow{\text A\text M}\cdot \overrightarrow{n}=0

. Montrons que 

\text M \in P

.Soit

\text H

 le projeté orthogonal de 

\text M

 sur la droite

d

passant par

\text A

et dirigée par 

\overrightarrow{n}

.Alors 

\overrightarrow{\text A\text M}\cdot \overrightarrow{n} = \overrightarrow{\text A\text H}\cdot \overrightarrow{n}

. Or 

\overrightarrow{\text A\text M}\cdot \overrightarrow{n}=0

, donc 

\overrightarrow{\text A\text H}\cdot \overrightarrow{n}=0

.Comme

\text A

et

\text H

sont des points de

d

, alors 

\overrightarrow{\text A\text H}

et

\overrightarrow{n}

 sont colinéaires, donc 

0=\overrightarrow{\text A\text H}\cdot \overrightarrow{n}=|\text A\text H| \times ||\overrightarrow{n}||

. Mais 

\overrightarrow{n}

 est un vecteur non nul, donc sa norme n'est pas nulle. Donc cela implique que 

|\text A\text H|=0

. Cela signifie que

\text A=\text H

.Ainsi le projeté orthogonal de 

\text M

sur

d

 est le point

\text A

, donc

\text M

appartient à 

P

.

Distances dans l'espace

Distances dans un repère orthonormé

Propriété

Soit un repère orthonormé de l'espace

\left(\text O~;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}\right)

.
Soit\(\text A(x_\text A~;~y_\text A~;~z_\text A)\)et \(\text B(x_\text B~;~y_\text B~;~z_\text B)\) deux points de l'espace.

Alors, on a : \(\boxed{\mathrm{AB} = \sqrt{(x_\text A-x_\text B)^2+(y_\text A-y_\text B)^2+(z_\text A-z_\text B)^2}}\).

Sphère

Définition

Soit

\Omega

un point de l'espace et 

r

un réel positif. On appellesphèrede centre 

\Omega

 et de rayon 

r

 l'ensemble des points

\text M

de l'espace tels que 

\Omega \text M = r

.

 Remarque

Si

r=0

, alors la sphère est réduite au seul point 

\Omega

.

Propriété

On se place dans un repère orthonormé de l'espace.
Soit 

\Omega(x_0~;~y_0~;~z_0)

 un point de l'espace et 

r

 un nombre réel positif.
On considère la sphère

S

de centre 

\Omega

 et de rayon 

r

.
Alors, on a : 

\text M(x~;~y~;~z) \in S \Leftrightarrow \boxed{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2+(z-z_0)^2=r^2}

.
Cette égalité est appelée une « équation cartésienne » de la sphère

S

.

Démonstration

L'espace est muni d'un repère orthonormé. Soit

\text M(x~;~y~;~z)

un point de l'espace.
Le vecteur 

\overrightarrow{\Omega\text M}

 a pour coordonnées 

\begin{pmatrix} x-x_0\\y-y_0 \\z-z_0 \\ \end{pmatrix}

, donc sa norme est donnée par 

\Omega\text M = \sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2+(z-z_0)^2}

.

Or

\Omega\text M = r \Leftrightarrow \Omega\text M^2=r^2

.
D'où :

\text M(x~;~y~;~z) \in S \Leftrightarrow \Omega\text M = r \Leftrightarrow \Omega\text M^2=r^2 \Leftrightarrow\boxed{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2+(z-z_0)^2=r^2}

Exemple 1

On se place dans un repère orthonormé de l'espace. On considère la sphère

S

de centre 

\text A(-1~;~2~;~0)

 et de rayon 

3

.
On a : 

\text M(x~;~y~;~z) \in S \Leftrightarrow \boxed{(x+1)^2+(y-2)^2+z^2=9}

.
C'est une équation cartésienne de la sphère

S

.

Exemple 2

On se place dans un repère orthonormé de l'espace. On considère l'ensemble des points 

\text M(x~;~y~;~z)

 de l'espace tels que 

(x-2)^2+y^2+(z+3)^2=25

.
Cet ensemble est la sphère de centre 

\text A(2~;~0~;-3)

 et de rayon 

r=5

.

Plan médiateur d'un segment

Définition

Soit

\text A

et

\text B

deux points distincts de l'espace.
On appelleplan médiateurdu segment

[\text A\text B]

 le plan passant par le milieu

\text I

 du segment 

[\text A\text B]

et perpendiculaire à la droite

(\text A\text B)

.

Propriété

Soit

\text A

et

\text B

deux points de l'espace.

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;•&nbsp;Le plan médiateur du segment

[\text A\text B]

a pour vecteur normal 

\overrightarrow{\text A\text B}

.

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;•&nbsp;Le plan médiateur du segment

[\text A\text B]

est l'ensemble des points

\text M

de l'espace équidistants des points

\text A

et

\text B

, c'est-à-dire tels que

\mathrm{AM=BM}

.