Définition
On appelleéquation différentielleune équation dans laquelle l'inconnue est une fonction et qui lie cette fonction et une ou plusieurs de ses dérivées successives.
Vocabulaire
L'ordred'une équation différentielle donnée correspond à l'ordre maximal de dérivation présent dans cette équation différentielle.
Remarque
L'inconnue d'une équation différentielle est souvent notée
. Elle représente une fonction (et non plus un nombre).
Exemples
1.
est une équation dupremier ordre à coefficients constants.
2.
est une équation dupremier ordre à coefficients constants.
3.
est une équation dupremier ordreà coefficients constants.
4.
est une équation dupremier ordreà coefficients non constants.
5.
est une équation dusecond ordreà coefficients constants.
Définition
Soit
un entier naturel non nul.Résoudreune équation différentielle d'ordre
sur un intervalle
, c'est trouvertoutes les fonctionsdéfinies sur
et dérivables
fois, vérifiant cette équation.
On dit qu'une telle fonction estsolutionsur\(I\) de l'équation différentielle.
✎ ☛ Vérifier qu'une fonction est solution d'une équation différentielle
Méthode
Pour vérifier qu'une fonction
est solution d'une équation différentielle :
• calculer la ou les dérivées successives de
présentes dans l'équation ;
• remplacer, dans le second membre de l'équation, la fonction
et sa ou ses dérivées successives ;
• vérifier que les deux membres donnent le même résultat.
Énoncé
Soit
l'équation différentielle
. Démontrer que la fonction définie sur
par
est solution sur
de
.
Solution
Soit
un réel.
• On a
.
• On a
.
ConclusionPour tout réel \(t\), on a \(f'(t)=-4f(t)+12\), ce qui signifie que
est solution sur
de
.