Sur GeoGebra, on construit un vecteur
, un point
. Soit
un curseur d'incrément
allant de
à
.
1.Cliquer sur le bouton "Placer le point B" pour construire le point
défini par
.a.Si
, quelle propriété du cours retrouve-t-on concernant les vecteurs
et
?b.Si
, comparer les directions, les sens et les normes des vecteurs
et
.c.Si
, comparer les directions, les sens et les normes des vecteurs
et
.
2.Cliquer sur le(s) bouton(s) "Créer un point A" et/ou "Créer un vecteur u" pour changer de configuration. Vérifier les conjectures émises à la question1.
Produit d'un vecteur par un réel
Définition
Soit
un vecteur non nul et
un réel non nul.
Leproduitdu vecteur
par le réel
est le vecteur, noté
, caractérisé par :
- le vecteur \(k \times \overrightarrow{u}\)a la même direction que le vecteur\(\overrightarrow{u}\) ;
- si \(k > 0\), alors le vecteur \(k \times \overrightarrow{u}\)a le même sens que le vecteur\(\overrightarrow{u}\) et si\(k > 0\)alors le vecteur \(k \times \overrightarrow{u}\)a le sens contraire du vecteur\(\overrightarrow{u}\) ;
- le vecteur \(k \times \overrightarrow{u}\)a pour norme \(\mid k \mid \times || \overrightarrow{u}||\).
Soit
un vecteur. Si
, alors
.
Soit
un réel. Si
, alors
.
Remarque
Soit
un vecteur. On a
.
Exemple
On considère un vecteur
.
Voici les vecteurs
,
,
et
.
Produit d'un vecteur par un réel - Propriétés
Propriétés
Soit
et
deux vecteurs du plan. Soit
et
deux réels. Alors on a les propriétés suivantes.
- \(k \times \left( \overrightarrow{u} + \overrightarrow{u} \right) = k \times \overrightarrow{u} + k \times \overrightarrow{v}\)
- \(k \times \overrightarrow{u} + k^{\prime} \times \overrightarrow{u} = \left(k + k^{\prime} \right) \times \overrightarrow{u}\)
- \(k\times \left( k^{\prime} \times \overrightarrow{u} \right) = \left( k \times k^{\prime} \right) \times \overrightarrow{u}\)
Exemple
Soit
et
deux vecteurs du plan.
- \(2 \times \left( \overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} \right) = 2\overrightarrow{u} + 2\overrightarrow{v}\)
- \(3\overrightarrow{u} + 5\overrightarrow{u} = (3 + 5) \times \overrightarrow{u} = 8 \overrightarrow{u}\)
- \(7 \times \left( 4\overrightarrow{u} \right) = \left( 7 \times 4 \right) \times \overrightarrow{u} = 28 \overrightarrow{u}\)
Milieu d'un segment - Égalités vectorielles
Propriété
Soit
,
et
trois points du plan. On a les équivalences suivantes.
- Le point\(\text M\) est le milieu du segment\([\text{AB}]\) ;
- \(\overrightarrow{\text{AM}} = \overrightarrow{\text{MB}}\) ;
- \(\overrightarrow{\text{AM}} = \dfrac{1}{2} \overrightarrow{\text{AB}}\) ;
- \(\overrightarrow{\text{MB}} = \dfrac{1}{2} \overrightarrow{\text{AB}}\) ;
- \(\overrightarrow{\text{AB}} = 2 \overrightarrow{\text{AM}}\) ;
- \(\overrightarrow{\text{AB}} = 2 \overrightarrow{\text{MB}}\).